13.
將寫有自然數\(1,2,\ldots,6\)的6張紙條隨機排放成一列，先將第一張紙條拿在手中，然後從第二張紙條開始，依序看下去，直到第6張。依序看到第6張的過程中，如果看到紙條上的數目字比手中的大，就放下手中的紙條，把數目字大的那張換到手中，直到看到第6張。試求更換次數的期望值。
[解答]
第13題鋼琴老師的方法真的太漂亮了
每次期望值的題目，總是可以看到非常漂亮、抓住期望值核心的手法。
這裡我也分享我自己的作法，可能也是比較多人用的手法
設\(E_n\)為總共發1,2,3,...,n張牌時，換牌次數的期望值，
當n號牌(最大號)排在第k張位置時，不論前面的牌，看牌看到第k張，必定要換牌一次，而且之後就不會再換牌了。
所以當n號牌排在第k張位置時，換牌次數為前k-1張牌換牌次數再+1，
故n號牌排在第k張位置時的換牌次數期望值為\(E_{k-1}+1\)
n號牌排在第k張位置的機率為\(\frac{1}{n}\)，
故\(\displaystyle E_k=\frac{1}{n}\cdot 0+\frac{1}{n}(E_1+1)+\frac{1}{n}(E_2+1)+\frac{1}{n}(E_3+1)+\cdots+\frac{1}{n}(E_{n-1}+1)\)
\(\displaystyle E_1=0、E_2=\frac{1}{2}(E_1+1)=\frac{1}{2}、E_3=\frac{1}{3}(E_1+1)+\frac{1}{3}(E_2+1)=\frac{5}{6}\)
\(E_4=\frac{13}{12}、E_5=\frac{77}{60}、E_6=\frac{522}{360}=\frac{29}{20}\)
