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多項式一問

多項式一問

若f(x)除以x^2-x+2 的餘式是3x+1 除以x^2+x+2的餘式是5x+5 求f(x)除以(x^2-x+2)(x^2+x+2)的餘式?
謝謝

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f(x) = (x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)Q(x) + ax(x^2 - x + 2) + 3x + 1
再利用 ax(x^2 - x + 2) + 3x + 1 除以 x^2 + x + 2 的餘式是 5x + 5,可求出 a

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f(x)=(x2x+2)(x2+x+2)q(x)+(ax+b)(x2x+2)+3x+1
(ax+b)(x2x+2)+3x+1為所求
f(x)=(x2x+2)(x2+x+2)q(x)+(ax+b)(x2+x+2)2x(ax+b)+3x+1
2x(ax+b)+3x+1除以x2+2x+2的餘式為5x+5,所以
2x(ax+b)+3x+1=2a(x2+x+2)+5x+5
整理得
2ax22bx+3x+1=2ax22ax+5x4a+5
比較係數,得方程式
32b=52a54a=1 
a=1b=0 
所以答案為
x(x2x+2)+3x+1
=x3x2+5x+1

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