填充9彰女公告送分了

填充第 5 題
您還少了 A8B3

填充第 4 題
n是不超過1000的正整數，且n+4n2+7為最簡分數，問n有多少個可能值？　　　。
[解答]
(n + 4) / (n^2 + 7)
= (n + 4) / (n^2 - 16 + 23)
= (n + 4) / [(n + 4)(n - 4) + 23]
當 n + 4 是 23 的倍數，它就可以約分

5 ~ 1004 有 43 個 23 的倍數

所求 = 1000 - 43 = 957

謝謝 thepiano 老師！

11. 考場沒做出來，回去後才想到....

OPAB是一個圓內接四邊形，假設正方形的邊長為2a
則有OB=2aAB=2aPB=4a2−8 

由托勒密定理得到a2=229

則所求PB=58−8=52 

15.
空間中有一個邊長為6的正四面體OABC，平面ABC上一點P滿足OP=21OA+31OB+61OC。若通過P點且相異於平面ABC的另一平面分別與射線OA、OB、OC交於A、B、C，求此平面與OA、OB、OC三射線圍出四面體OABC中體積的最小值為　　　。
[解答]
第一眼被嚇到，但後來發現還好

假設平面E交OAOBOC於ABC

且設OA=xOAOB=yOBOC=zOC

由P點落在ABC平面上可知x3+y2+z1=6
求xyz的最小值，由算幾不等式易求得xyz43

因此所求體積V為原本的體積V的\displaystyle \frac{3}{4}倍
得\displaystyle V'=\frac{3}{4}\cdot 18\sqrt{2}=\frac{27\sqrt{2}}{2}


剛剛發現的偷吃步方法

坐標化求P點，在\displaystyle \overline{OA},\overline{OB},\overline{OC}取A',B',C'
讓\displaystyle \triangle{A'B'C'}的重心為P
此時圍出的四面體O-A'B'C'即為所求的最小體積四面體

引用:

原帖由 PDEMAN 於 2022-6-4 12:22 發表
OP_1=OP_2=\cdots=OP_{2022}=1
再利用柯西
((a_1)^2+\cdots+(a_{2022})^2)(2022)\geq (a_1+\cdots+a_{2022})^2
推得 a_1+\cdots+a_{2022}\leq 1
最後可得所求是1

想問這裡推得 OP_1=OP_2=\cdots=OP_{2022}=1 會不會太快了？
畢竟題目是說P_1,P_2,\cdots在圓盤上
不過主軸是用柯西沒錯

先由OP_1,OP_2,\cdots,OP_{2022}\leq1
得知
a_1\cdot 1+a_2 \cdot 1+\cdots+a_{2022}\cdot 1 \geq a_1\cdot OP_1+a_2 \cdot OP_2+\cdots+a_{2022}\cdot OP_{2022} \geq 1
再由柯西不等式所得結果，搭配上式
得到1\leq a_1+\cdots+a_{2022}\leq 1
所以得到1

另外提一下計算第一題，最好不要使用估算法
要用估算法，誤差要縮很小，搭配常用對數或許可以，
但用計算機試了一下，只能用
e^\pi>2.7^{3.1415}>3.15^{2.7183}>\pi^e
得到正確結果
不過用\log 2=0.3010,\log 3=0.4771之類的去估算，會得到
3.1415 \log 2.7 - 2.7183 \log 3.15\simeq 0.0004
差距太小，表示還要花時間去說明你的估算誤差，沒有超過0.0004
所以下次看到，就真的不要用估算的
（或者有高手可以提供估算的做法）

提供自己的想法給大家參考,不知道有沒有更好的寫法

[ 本帖最後由 yosong 於 2022-6-4 21:13 編輯 ]

話說第13題的答案，是不是還可以多一個a^2呢？
畢竟它的橢圓方程式是給
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
沒有其它資訊判斷橢圓的長軸走向等等

教甄寫到這樣的題目，都會很猶豫要不要直接預設a>b
有時候怕預設了結果寫的答案不完整沒分數
不設又怕出題者覺得a>b理所當然

來寫個試題疑義好了