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問110師大數學系筆試

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問110師大數學系筆試

這兩題不知道該怎麼下手,第二題只知道可以用算幾證大於根號2,另外一邊就不知道怎麼算了...
在麻煩各位幫忙解惑了!

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2022-4-30 21:59

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回復 1# xz35s8pq 的帖子

第二題
先證明遞減 \(a_{n}-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}+\frac{a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n-2}}=(a_{n-1}-a_{n-2})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})=(a_{n-2}-a_{n-3})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-2}a_{n-3}})\)
\(=(a_{2}-a_{1})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-2}a_{n-3}})\times\cdots \times(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{2}a_{1}})\leq 0\)
(因為\(a_{n+1}a_{n}\geq 2  \forall n\in N \))
\(a_{n}\)就直接帶進去個3項左右可拿到 \(a_{3}=\frac{577}{408}\doteq 1.41422\)
\(a_{3}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{2021}\doteq 1.41470\)
最後因為遞減 所以\(a_{3}>a_{2021}\)

第三題的想法可以參考
https://frankliou.wordpress.com/ ... %E6%A5%B5%E9%99%90/

[ 本帖最後由 PDEMAN 於 2022-5-2 15:04 編輯 ]

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