引用:

原帖由 yuhui1026 於 2022-4-24 21:06 發表
填5.我是直接構圖...

很棒的想法~~

謝謝鋼琴老師，想再請教計算三的(2)

計算第 3 題 (2)
R 是黃色區域

EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= △OHG 繞 y 軸一圈的體積 - △OEF 繞 y 軸一圈的體積
= 2 個底面 3 高 3 的圓錐體積 - 2 個底面 1 高 1 的圓錐體積
= 2 * ( 9π * 3 - π * 1) * (1/3) = (52/3)π

△OHB 繞 y 軸一圈的體積
= 底面 6 高 6 的圓錐體積
=  36π * 6 * (1/3) = 72 π

R 繞 y 軸一圈的體積
= △OHB 繞 y 軸一圈的體積 - EHGF 繞 y 軸一圈的體積
= 72 π - (52/3)π
= (164/3)π

謝謝鋼琴老師～～！

想請問4 6 10

填充4，由內角和相等可知內角均為 120°
過頂點做與邊之平行線(沒有限定哪在哪裡做)

會將圖形線切成正三角形、平行四邊形，即可得

geogebra-export.png (250.87 KB)

2022-4-26 10:49

\( \overline{FA} = 4 +4 = 8\)
\( \overline{EF} = 2 \)
故所求
\( \overline{FA} + \overline{EF} = 10 \)

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2022-4-26 10:10 發表
想請問4 6 10

填4 寸絲先回了~
但都已經畫完了,還是放上去好了

填充6. 我們可以知道此二平行面的距離為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \)

接著需要知道正八面體邊長和此平行面距離的比例

幾何作法：取M 為BC 中點，N 為DE 中，三角形ANM中 AM 邊上的高即為兩平行面的距離(修正筆誤AM邊上的高)

坐標：重新另做一個正八面體，頂點坐標為 \( (\pm a,0,0), (0,\pm a,0), (0,0,\pm a) \)，其中 \( \sqrt{2} a \) 為正八面體的邊長
可計算得二平行面得距離為 \( \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sqrt{2} a\)

故可題，此題中邊長為 \( \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} \)

此正八面體的體積為 \( 2 \times \frac13 \times (3 \sqrt{2})^2 \times 3 = 36 \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2022-4-28 09:49 編輯 ]

填充 10. 沒有什麼好想法，暫時分三種狀態，用轉移矩陣硬算
狀態1：ABC 各1 人
狀態2：ABC 人數 2,1,0(未依序)
狀態3：ABC 人數 3,0,0(未依序)

認真算一下機率，轉移矩陣寫下來是
\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix}\frac{2}{8}&\frac{2}{8}&0\\ \:\:\frac{6}{8}&\frac{5}{8}&\frac{6}{8}\\ \:\:0&\frac{1}{8}&\frac{2}{8}\end{pmatrix}^5\:\begin{pmatrix}1\\ \:\:0\\ \:\:0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1823}{8192}\\ \frac{10923}{16384}\\ \frac{1815}{16384}\end{pmatrix}\)

故所求 = \( \frac{1815}{16384} \)

第 10 題
先算三人都到 A 的機率，再乘以 3

擲 5 次硬幣後
甲移動 6 或 9 個單位可到 A，乙移動 5 或 8 個單位可到 A，丙移動 7 或 10 個單位可到 A

甲移動 6 個單位：擲出 1 個正面、4 個反面，機率 5/32
甲移動 9 個單位：擲出 4 個正面、1 個反面，機率 5/32

乙移動 5 個單位：擲出 0 個正面、5 個反面，機率 1/32
乙移動 8 個單位：擲出 3 個正面、2 個反面，機率 10/32

丙移動 7 個單位：擲出 2 個正面、3 個反面，機率 10/32
丙移動 10 個單位：擲出 5 個正面、0 個反面，機率 1/32

三人都到 A 的情形
(甲，乙，丙)
(6，5，7)：機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(6，5，10)：機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(6，8，7)：機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(6，8，10)：機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768
(9，5，7)：機率 (5/32)(1/32)(10/32) = 50/32768
(9，5，10)：機率 (5/32)(1/32)(1/32) = 5/32768
(9，8，7)：機率 (5/32)(10/32)(10/32) = 500/32768
(9，8，10)：機率 (5/32)(10/32)(1/32) = 50/32768

總和 = 1210/32768

所求 = (1210/32768) * 3 = 1815/16384