如題，竹北很有效率

竹北一如往常的簡單
填充1.
如圖，設ABC中，C=90 ，以AB、AC為邊向外各作正三角形ABF和ACG，點M是BC中點。若MF=11，MG=7，則BC的長度為　　　。
[解答]
由費馬點知BG=CF
由中線定理：CG2+BG2=2(MG2+MC2)，CF2+BF2=2(MF2+MB2)
兩式相減得BF2−CG2=2(MF2−MG2)=BC2=144

填充2.
設函數f:(0)R，滿足f1−11+t+ft1+tlog(1+t)=ft1+tlogt+2022 ，則f(1000)=　　　。
[解答]
分別令x=t1+t和x=tt+1
f(x)−f(x1)logx=2022，f(x1)+f(x)logx=2022，logxf(x1)+f(x)(logx)2=2022logx
f(x)(1+(logx)2)=2022+2022logx，f(x)=1+(logx)22022+2022logx

填充3.
設a0=23an=21+an−121，試求limn4n(1−an)的值為　　　。
[解答]
a0=cos6，an=cos62n，1−an=2sin2122n
令x=12n，所求=limx0x22sin212x=limx027212xsin12x2=272 

填充8.
拋物線y2=4cx(c0)的焦點為F，準線為L。A、B是拋物線上的兩動點，且滿足AFB=3，設線段AB的中點M在L上的投影點為N，則ABMN的最大值為　　　。
[解答]
令AF=aBF=b，ABMN=AB2d(AL)+d(BL)=a+b2a2+b2−ab
平方，a2+2ab+b24a2+4b2−4ab=41+3ab4a2+4b2−4ab41+3ab8ab−4ab=1

填充題第一部分
3.
長方形紙片ABCD中，AB=6，AD=23 ，若將此長方形紙片沿AC摺起，使ADC與ABC所夾的兩面角為30，此時BAD= ，則cos=　　　。
類似問題https://math.pro/db/thread-567-1-1.html

5.
求座標平面上13x−10y+6+17x+13y−2339的區域面積為　　　。

坐標平面上，不等式x+y+x+y2所圍成之區域面積為　　　。
(104鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2244&page=3#pid13178)

填充題第二部分
3.
設a0=23an=21+an−121　(n1)，試求limn4n(1−an)的值為　　　。

4.
設直線ax+by=c的係數可以在0,1,2,3這4個數字中選取，其中數字可重複選取，則abc的值共可決定n條不同的直線，則n=　　　。

已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合\{\; -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\;中的 3 個不同元素，並且該直線與x軸正向所夾的有向角為銳角，則這樣的直線有幾條？
(103家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1860&page=3#pid9958)

10.
已知級數\displaystyle \frac{1}{5}+\frac{4}{5^2}+\frac{7}{5^3}+\ldots+\frac{28}{5^{10}}=\frac{p+q\times \frac{1}{5^{10}}}{r}，其中p,q,r皆為整數，且p,q,r三數兩兩互質，則p+q+r=　　　。

填五
求座標平面上|\;13x-10y+6|\;+|\;17x+13y-2|\;\le 339的區域面積為　　　。
[解答]
所求與|13x-10y|+|17x+13y|≦339所圍區域面積等價
(僅移動中心點到原點,不會改變圖形結構)
法1: (一般作法)
假設直線L1: (13x-10y)+(17x+13y)=30x+3y=339
直線L2: (13x-10y)+(17x+13y)=30x+3y= -339
直線M1: (17x+13y)-(13x-10y)=4x+23y= 339
直線M2: (17x+13y)-(13x-10y)=4x+23y= -339
所求即為L1,L2,M1,M2所圍區域面積K
假設θ為L1與M1夾角,則|cosθ|=|30*4+3*23|/[(√(30² +3²)*√(4²+23²) ] =189 /[√909*√545]
sinθ=√([1-(cosθ)² ] =678/ /[√909*√545]  [註:這裡會算得很辛苦!!]
則K=(2*339/√909)*(2*339/√545)/sinθ=678

法2: (速算法)
利用座標轉換~假設X=13x-10y ,Y=17x+13y
所求改成求|X|+|Y|≦339的區域面積,假設此面積為K'
令A為以向量(13,-10),向量(17,13)為兩列的二階行列式之絕對值
則A=|13*13+10*17|=339,又K*A=K'
K*339=(1/2)*(2*339)² ,所求K=678

6.
若對所有\theta \in R，複數z=(a+cos\theta)+(2a-sin\theta)i的絕對值不超過2，則實數a的範圍為　　　。
[解答]
這題小弟認了 場外重算好多次才算出 考場更不可能了

易知 \displaystyle 5a^2+2a(cos\theta -2sin \theta)-3\leq0

整理可得\displaystyle cos\theta -2sin\theta  \leq \frac{3-5a^2}{2a}

注意\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a}嚴格遞減

(1)如果 \displaystyle a\geq 0的情形，對於\displaystyle \theta \in \mathbb{R}

\displaystyle cos\theta -2sin\theta  \leq \frac{3-5a^2}{2a} 恆成立
即\displaystyle \frac{3-5a^2}{2a} \geq \sqrt{5} \Rightarrow \frac{-3}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}

(2)討論a\leq0的情形

可得\displaystyle a \geq \frac{-1}{\sqrt{5}} 或是 \displaystyle a\leq \frac{-3}{\sqrt{5}}

綜合(1)(2) 得到\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{5}}\leq a \leq \frac{1}{\sqrt{5}}

這題用幾何想法比較簡單
想成(a,2a)+(cos(-t)+sin(-t))

有一個圓的圓心在y=2x上且與「圓心在原點，半徑為2的圓」內切
即可解出答案

請教第二部分填充四

第二部分第 4 題
設直線ax+by=c的係數可以在0,1,2,3這4個數字中選取，其中數字可重複選取，則a,b,c的值共可決定n條不同的直線，則n=　　　。
[解答]
(1) a、b、c 中恰有 2 個 0
a = c = 0，1 條
b = c = 0，1 條

(2) a、b、c 中恰有 1 個 0
a = 0，3^2 - 2 = 7 條
b = 0，7 條
c = 0，7 條

(3) a、b、c  均不為 0
3^3 - 2 = 25

加起來

謝謝老師解惑

版上老師好

請問第4題應該要怎麼做會比較快阿?

訂作標後發現硬解方程式感覺在繞遠路