晚點應該會有官方版的題目，
經過一晚的慘烈廝殺，睡夢中仍在思考如何解題，因此先把計算題寫上來跟各路高手請教。

計算一
有一四面體   P−ABC ，已知 PA和ABC 所在的平面垂直，且PA=AB=2。自A點作PC、PB的垂線，垂足分別為E、F。若ACB是一個直角三角形且 C=90，令CPB= ，問：
(1) AEF的最大面積為何？
(2)承上，此時tan()=？

計算二
拋物線y2=6x上有相異二點A(x1y1)、B(x2y2)，且x1+x2=4，作AB的垂直平分線交 x軸於C，請問：
(1) C的座標。
(2) 設M(x0y0)是AB的中點，請問 y0的範圍為何？
(3) 求ABC的最大面積。

第四題

一、填充題甲
3.
已知數列an的前n項和為Sn，首項a1=41，且滿足an+3SnSn−1=0(n2nN)，則1S2022=　　　。
[提示]
看到Sn，想到an=Sn−Sn−1
我的教甄準備之路　求數列一般項，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507

二、填充題乙
1.
設A1A2A111為一單位圓的內接正111邊形，且P為此單位圓上任一點。試求PA1PA2PA111的最大值為　　　。

3.
已知An=nk=1k2k(k+1)(k+2) ，Bn=nk=12k ，nN，求滿足(n+2)An−Bn2022之最小自然數n=　　　。

4.
設一數列an滿足a1=1，an+1an(nN)且(an+1)2+(an)2+1=2(an+1an+an+1+an)。令Sn=nk=1ak ，試求limnSnnan=　　　。

數列 an 中，已知 a1=2an+1an，且 a2n+1+a2n+4=2an+1an+4an+1+4an，則一般項  an=?
(98師大附中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=735&page=1#pid1261)

7.
設a0b0c0，求a+3ca+2b+c+4ba+b+2c−8ca+b+3c+17的最小值為　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1569&page=5#pid14278

二、填充2

計算第 2 題
(1)
  直線AB:y=mx+nmx+n2=6xm2x2+2mn−6x+n2=0x1+x2=−m22mn−6=4n=3m−2my=mx+3m−2m
AB中點為M23m 
垂直平分線：y−3m=−1mx−2 交x軸於C50 
(2)
  y0=3m2mn−62−4m2n20mn23m3m−2m23m23m-23−23y023
(3)
直線AB交x軸於D−nm0 
    y2=6xy=mx+ny2=6my−nmy2−6y+6n=0y1+y2=6my1y2=m6nABC=215+nmy1−y2=215+nmy1+y22−4y1y2=31+1m212−9m2  
令
  t=12−9m21m2=34−9t2ABC=31+34−9t2t=−3t3+7t
最大值為3147 

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-16 16:17 編輯 ]

感謝第4題神提點，不然想破頭還是做不出來

填充(乙)第2題
作 BNC的外接圓後，由弦切角、圓周角可知ABN~ACB
故 \frac{AN}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}，
因此，令 \overline{AC} =5a ，可得 \overline{AB}=4a 、 \overline{AN}=\frac{16a}{5}
再搭配孟氏定理 \frac{BD}{CD} \times \frac{CA}{AN} \times \frac{MN}{BM} =1   可得所求。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-16 16:40 編輯 ]

計算第 1 題
(1)
關鍵是先說明 △AEF 是直角三角形 (∠E 是直角)
AF = √2，故 AE = EF = 1 時，△AEF 面積有最大值 1/2

(2)
求出 AC = 2/√3， PC = 4/√3，BC = 2√2/√3
又 PB = 2√2
故 △PCB 是直角三角形 (∠C 是直角)
tanθ = BC / PC = √2/2

二、填充3

二、填充4

二、填充6