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110台灣師大個人申請筆試一

110台灣師大個人申請筆試一

老師們好~
最近在幫要考數學系的學生準備,所以一起寫各數學系筆試考古題。但奈何我數學能力有限,也有一些單元是弱項,還是會有部分題目未能解出,故與同事討論不出時,想向眾老師求教。
目前師大數學系的筆試已寫完3份了,覺得跟學科能力競賽的出題方式很像,筆試一為相對較難的計算證明題(當然還是比學科能力競賽還簡單),筆試二為高中數學課內難題。
其中筆試一的第五題(2)已經知道該方向要走鴿籠原理,也有想過應該是反證法,我有想試著先證5X5,但也不知該如何下手,故而請教大家!
無論如何,感激不盡!

5.
將1到50的正整數填入\(50 \times 50\)的格子內,使每個數恰出現五十次。
(1)設有\(r\)列出現1,亦有\(c\)行出現1,試證\(r+c\ge 15\)。
(2)試證一定存在某一列或某一行,出現至少8個不同的數。

以下網址可以下載詳細筆試檔案
https://www.lib.ntnu.edu.tw/sec_ ... 3-EB67-3FA891E41FED

附件

110台灣師大大學個人申請入學筆試一.pdf (72.55 KB)

2022-7-6 14:40, 下載次數: 2214

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似乎由第(1)小題的結論,就可以簡明地證明第(2)小題了

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唉唉唉真的嗎?
我有證出第一小題
也有想過應該可以用第一小題來說明
但想很久也不知道怎麼做呢?
冒昧詢問可以再多給一些提示或指引嗎?

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回復 3# rueichi 的帖子

由第 (1) 小題,任一數字出現的列數與行數之和 ≧ 15
全部 50 個數字出現的列數與行數之和 ≧ 15 * 50 = 750

假設任一列最多只出現 7 個不同的數字
那全部 50 列最多出現 7 * 50 = 350 個

故全部 50 行最少會出現 750 - 350 = 400 個
由鴿籠原理,某一行最少會出現 400 / 50 = 8 個不同的數字

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非常感謝兩位老師的解說!真的很感謝!
當下看到真的是「哇~
確實使用了第一小題被很清楚簡明的完成證明了!」

我想我這方面的能力可能太粗淺 導致反應不靈敏 方向模糊
我想應該借本相關的書籍來做訓練

再次感謝兩位老師!

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問110師大數學系筆試

二、
設數列\(\langle a_n \rangle\)的首項\(a_1=2\),且對所有正整數\(n\),滿足\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}\),試證:\(\displaystyle \sqrt{2}<a_{2021}<\sqrt{2}+\frac{1}{2021}\)。
三、
平面上一扇形\(OAB\)滿足\(\overline{OA}=\overline{OB}\)=5,且圓心角\(\angle AOB=\theta\)。
(1)若\(\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}\),試證對於任意正整數\(n\),\(\displaystyle cos^n \theta<\frac{sin^n \theta}{\theta^n}<1\)。
(2)若\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\theta<0\),試證上述不等式仍然成立。

這兩題不知道該怎麼下手,第二題只知道可以用算幾證大於根號2,另外一邊就不知道怎麼算了...
在麻煩各位幫忙解惑了!

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回復 1# xz35s8pq 的帖子

第二題
先證明遞減 \(a_{n}-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{2}+\frac{a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n-2}}=(a_{n-1}-a_{n-2})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})=(a_{n-2}-a_{n-3})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-2}a_{n-3}})\)
\(=(a_{2}-a_{1})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-1}a_{n-2}})(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{n-2}a_{n-3}})\times\cdots \times(\frac{1}{2}-\frac{1}{a_{2}a_{1}})\leq 0\)
(因為\(a_{n+1}a_{n}\geq 2  \forall n\in N \))
\(a_{n}\)就直接帶進去個3項左右可拿到 \(a_{3}=\frac{577}{408}\doteq 1.41422\)
\(a_{3}\leq \sqrt{2}+\frac{1}{2021}\doteq 1.41470\)
最後因為遞減 所以\(a_{3}>a_{2021}\)

第三題的想法可以參考
https://frankliou.wordpress.com/ ... %E6%A5%B5%E9%99%90/

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