請教非選第二題!謝謝~

113.3.25
上傳考試二試題

非選第2題
已知非負實數abcd滿足a+2b+3c+4d=1且(a+b)(c+d)2=(a+c)(b+d)2=k則k的最大值為何？又該最大值在何時發生？
[解答]
  1b=c31=3a+2b+3c+4d=3a+b+2c+d+2c+d=3a+c+2b+d+2b+d34kk1108
等號成立於b=c=31−a=61−d
  2bc31=3a+2b+3c+4d3a+b+2c+d+2c+d34kk1108  3bc31=3a+2b+3c+4d3a+c+2b+d+2b+d34kk1108

想請教填充3&5 和非選一
填充3 算到總和為2^2022-2 但是除以1000的餘數算不出來

選填第3題
考慮像下圖一樣的數值三角形，在兩條邊上依序填入012，而三角形內部的數字則跟巴斯卡三角形一樣，是上列相鄰的兩數字的和。
432714028142734
所以第一列所有數字的總和是0，第二列所有數字的總和是2，第三列所有數字的總和是6。而第2022列的總和除以1000的餘數是　　　。
[解答]
  21024 mod 1000220242576 mod 1000  5762776 mod 10005763976 mod 10005764176 mod 10005765376 mod 10005766576 mod 1000  22022=220101457610145764304 mod 100022022−2302 mod 1000

非選第 1 題
設ABCD為凸四邊形，其中直線AB與CD不平行，同時令點P為兩對角線ACBD的交點。在PD線段中取一點M、在PC線段中取一點N使得PM=PN。若\angle CAB=\angle CDB，試證：直線MN與直線AB的夾角，等於直線MN與直線CD的夾角。
[解答]
∠AEN = ∠PNM - ∠CAB = ∠PMN - ∠CDB = ∠DEN

感謝鋼琴老師解惑

請問有老師可提供第五題的作法嗎？

5.
某國有110座城市，其中任4座城市之中都至少有1座城市，會與這4座城市中的其他3座城市有鐵路相通。則該國至少有　　　座城市，其與該國中的所有其他城市之間有鐵路相通。
[解答]
在a_1,a_2,\cdots,a_{110}中任取四個，例如取a_1,a_2,a_3,a_4，已知必有一個與其他三個皆相通，可知不可能同時找到四個兩兩不相通
觀察a_1,a_2,a_3，若此三個兩兩不相通，用剩餘的a_4,a_5,\cdots,a_{110}對這三個觀察可知其餘必皆與此三個相通
觀察a_1,a_2,a_4,a_5，已知a_1,a_2不相通，故a_4,a_5必相通才能滿足必有一個與其他三個皆相通
同理即可知a_4,a_5,\cdots,a_{110}全部互通

由上述可知只要有三個兩兩不相通就有107個全通，如果只有兩個不通易知會有108個，四個兩兩不相通皆不可能發生

謝謝老師解惑