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柯西不等式等號成立的時機

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柯西不等式等號成立的時機

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回復 1# 克勞棣 的帖子

學校教授的大部分是後者(簡單地說就是不等式等號成立的充要條件是x,y成比例),然而當x_2=y_2=0時,等號明顯是成立的:((x_1)^2+0^2)*((y_1))^2+0^2)=((x_1)(y_1)+0*0)^2=((x_1)(y_1))^2,但是(x_2)/(y_2)=0/0卻是無意義的,這該如何解釋呢?
另外,當y_1=y_2=0時,等號也明顯是成立的:((x_1)^2+(x_2)^2)*(0^2+0^2)=((x_1)*0+(x_2)*0)^2=0,但是(x_1)/(y_1)=(x_1)/0與(x_2)/(y_2)=(x_2)/0也是無意義的,這又該如何解釋呢?
謝謝賜教!

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以向量的觀點來看最清楚

“=“成立於兩向量(x1,y1),(x2,y2)平行時(同向或者反向)
即(x1,y1)=k(x2,y2)或k(x1,y1)=(x2,y2),其中k為實數(可能為0)
只要分量都不要出現0,就不會發生麻煩的狀況
相對的,分量有出現0就有很多麻煩的狀況
例如:(1,2)與(0,0)、(3,0)與(0,0)

此時你的後者的寫法就無法適用,無法適用就要找別的形式
因此前者反而是通用的。

因此通常前提就先要求(x1,y1),(y1,y2)都不是非零向量
會比較好思考,條件寫起來也不會這麼彆扭。

[ 本帖最後由 呆呆右 於 2021-11-14 01:09 編輯 ]

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回復 3# 呆呆右 的帖子

「通常前提就先要求(x1,y1),(y1,y2)都不是非零向量」?
請問您是不是多寫了一個「不」字?

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