想請教簡答3

簡答第3題
已知\(A\)、\(B\)、\(C\)為\(\Delta ABC\)的內角，若\(\displaystyle z=\frac{\sqrt{65}}{5}sin\frac{A+B}{2}+i cos\frac{A-B}{2}\)，且\(\displaystyle |\;z|\;=\frac{3\sqrt{5}}{5}\)，則\(tan(A+B)\)的最小值為何？
[解答]
\(\begin{align}
  & {{\left| z \right|}^{2}}=\frac{13}{5}{{\sin }^{2}}\left( \frac{A+B}{2} \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{A-B}{2} \right)={{\left( \frac{3}{5}\sqrt{5} \right)}^{2}}=\frac{9}{5} \\
& 13\left( \frac{1-\cos \left( A+B \right)}{2} \right)+5\left( \frac{1+\cos \left( A-B \right)}{2} \right)=9 \\
& 5\cos \left( A-B \right)=13\cos \left( A+B \right) \\
& 5\left( \cos A\cos B+\sin A\sin B \right)=13\left( \cos A\cos B-\sin A\sin B \right) \\
& 18\sin A\sin B=8\cos A\cos B \\
& \tan A\tan B=\frac{4}{9} \\
&  \\
& \tan A=x,\tan B=\frac{4}{9x} \\
& \tan \left( A+B \right)=\frac{x+\frac{4}{9x}}{1-\frac{4}{9}}\ge \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac{12}{5} \\
\end{align}\)

了解~感謝您

其他版本的是否符合不確定
(甚至還有微積分版本的)
但看到的時候腦袋有閃過這個
至於有沒有分...就看評審給不給過
(某種程度上也是和代數很像)

想請教計算二，有比較快的討論方法嗎？

因為是二維的,所以會有比較多證法:
除了常見
1.移項代數證法
2.向量內積證法  
3.二次函數+判別式證法
還有
4.幾何面積法(如7#的圖)   
5.餘弦定理   
6.算幾不等式  
7.排序不等式   
8.矩陣法   
9.正交化方法
10.用Holder不等式的特例
11.大學以上工具(積分,複數,機率........)
12.........

計算第 2 題
竹東高中的多元選修課程共開設了六門選修課：\(A\)、\(B\)、\(C\) 為第一類選修課，\(D\)、\(E\)、\(F\)為第二類選修課，要求每名同學須從中選修三門課，第一類選修課至少要選兩門。現有甲、乙、丙三位同學選課，則任意一位同學與其他兩位同學均至少有兩門相同選修課的選法
共有幾種？
[解答]
小弟的做法如下，參考一下，應該算慢

每人的選課法有以下 10 種
ABC、ABD、ABE、ABF、ACD、ACE、ACF、BCD、BCE、BCF

甲、乙、丙三人選課且符合題意的情形：
(1) 三同：10種

(2) 兩同一異
(i) 兩同是 ABC：9種
(ii) 一異是 ABC：9種
(iii) 沒有 ABC：9 * 4 = 36種
先假設兩同是 ABD、一異有 ABE、ABF、ACD、BCD 這 4 種選擇，其餘情形的兩同亦是 4 種
再排列，有 (9 + 9 + 36) * 3!/2! = 162 種

(3) 三異
(i) 有一異是 ABC：(9 * 4) / 2 = 18 種
再假設另一異是 ABD、最後一異有ABE、ABF、ACD、BCD 這 4 種選擇，由於會重複，故要除以 2
(ii) 三異中都沒有 ABC：6種
(ABD、ABE、ABF) 、(ACD、ACE、ACF)、(BCD、BCE、BCF)
(ABD、ACD、BCD)、(ABE、ACE、BCE)、(ABF、ACF、BCF)
再排列，有 (18 + 6) * 3! = 144 種

所求 = 10 + 162 + 144 = 316 種

小弟的土法煉鋼
分上(ABC)下(DEF)兩區，下列上的意思是幾人為上半區全選
3上:1
2上:3*3*3=27
1上:3*(3*3*3+3*2*3)
0上:下3異:3*2*3、下2同:3*3*2*3、下3同:3*3*3*3

計算二，有誤再請指正，謝謝

板上老師好

計算一用定坐標的方式處理     算到最後得到 開根號(169-10t)    0<t<5

是不是哪作錯了   ?  因為公告解為根號109   過程如附件

110.8.8版主補充
將pdf檔中的圖檔擷取出來，方便網友閱讀