老師們好，想請教 5、6、7、11，謝謝！

1.
試求(x−1)100除以(x−1)3的餘式。

設x5除以(x−1)3得餘式為g(x)，求g(2)之值=？
(98全國高中聯招，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=10&t=1410)

2.
試將1+cos72+isin72化成極式。

若i=−1 ，則z1=cos32+isin32+i的主幅角為，又z=cos72+isin72，1−z的主幅角為，求數對()。
(99家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=958&page=4#pid22345)

3.
假設一袋中有18個白球，2個紅球，自袋中每次取出一球且取後不放回，直到取出所有紅球為止。令隨機變數X表示所取出的球數，試求X的期望值。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=587
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=3#pid7228

4.
設一袋中有編號由1到9的球共9顆，每次取出一球後放回袋中，取球n次，令Pn為此n個號碼和為偶數的機率，試求limnPn的值。

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以P(n)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。求P(n)=？(以n表示)。
(99鳳新高中，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089)

袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為Pn，
求(1)Pn+1及Pn之關係式？　(2)limnPn=？
(100鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1151&page=2#pid3949)

5.
若abc為正數，證明a2+b2+b2+c2c2+a2 。

任給正數x1x2xn；y1y2yn。證明下式成立；
(x1+y1)2+(x2+y2)2++(xn+yn)2x21+x22++x2n+y12+y22++y2n 。
(99松山工農，https://math.pro/db/thread-965-1-1.html)

12.
108新課綱中，直線與圓移到高一上學期，試以高一同學的先備知識為基礎，證明：點P(st)到直線L：ax+by+c=0的距離d(PL)=a2+b2as+bt+c。

尤其是新課綱的"圓與直線"單元在"向量"單元的前面,所以"不用"向量方式證明是考試重點)
Ellipse提示https://math.pro/db/thread-1915-1-1.html

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3117&page=2#pid19653

7.
ab兩非零向量，a=4，a+2b=2，試求2a+b+b之最大值。
[解答]
由題目條件得:ab+b2=−3
所求為64+4ab+b2+b2 
改寫為52−3b2+b2 

由柯西不等式可知所求3208 

2021.7.29補充 感謝three0124更正筆誤

6.
空間中有一四面體，6個稜長中有5個為6，1個為x，另一個體積相同的四面體，6個稜長中4個為6，2個為x，且兩個稜長為x的邊不相鄰，試求x之值為　　　。
[解答]
這題考試應該先被計算量搞死
底面都設定成邊長為6,6,x的三角形
因此可知兩個四面體的高是相同的
兩個四面體的高分別為636−4x227−4x2  , x36−4x236−2x2

接下來就是解方程式了 最後化簡成x4−90x2+1944=0
得(x2−54)(x2−36)=0
所以x=6x=36 
題目應該要補x=6?

PS.這題應該是從107年全國數甲模考出來的 原題目的邊長是6 

5
兩邊平方就好了?
平方後得a2+c2+2b2+2(a2+b2)(b2+c2) 在abc0的條件下明顯大於a2+c2
只是感覺應該可以構造一個幾何例子來直接說明
還望各位前輩高手指點

5.
若abc為正數，證明a2+b2+b2+c2c2+a2 。
[解答]
利用三角形任意兩邊大於第三邊
三角形ABC中，AD為BC上的高，BD=a，CD=c，AD=b
AB=根號(a^2+b^2)，AC=根號(b^2+c^2)，BC=a+c
所以根號(a^2+b^2)+根號(c^2+b^2)>a+c=根號(a^2+2ac+c^2)>根號(a^2+c^2)
(因為a，b，c>0)
打太快打錯，感謝糾正，已更正

真夠巧妙 謝謝您的指點
另外您應該筆誤 CD=c才是?

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-7-21 00:26 發表
5
兩邊平方就好了?
平方後得a2+c2+2b2+2(a2+b2)(b2+c2) 在abc0的條件下明顯大於a2+c2
只是感覺應該可以構造一個幾何例子來直接說明
還望各位前輩高手指點 ...

假設O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
則AB= √(a²+b²)  , BC=√(b²+c²)  ,CA=√(c²+a²)
在△ABC中, 因為AB+BC>CA
所以√(a²+b²)+√(b²+c²) >√(c²+a²)

第11題
設正整數a,b,c滿足(ab,c)=1，試證：方程式x^a+y^b=z^c有無窮多組正整數解。
[解答]
作法供參。

請問各位老師
此題老師解的48是否應該是52呢
另外柯西不等式我還是不知道怎麼用
再請老師解釋