好久沒來了
手寫解答請各路老師校正一下

4.
\(108,109,110,\ldots \ldots,143,144\)，將這些數連寫成自然數\(N\)，即\(N=108109110\ldots \ldots143144\)，試證\(N\)為666之倍數
[解答]
最後一題
淺見分享一下

改寫\(\displaystyle N=108\cdot 10^{108}+109\cdot 10^{105}+\cdots +143\cdot 10^3+144\)
證明N可被2 9 37 整除即可

顯而易見N為2倍數。9的倍數也容易推得
注意\(1000 \equiv 1 (mod37)\)
所以\(N \equiv 108+109+\cdots +144 \equiv 0 (mod 37)\)

其實就是樓主寫的3個位數一組 但我沒有那個概念 都是用這個推的wwww

計算3
在\(\Delta ABC\)中，\(\overline{BC}=3\overline{AB}\)，\(\overline{BD}\)平分\(\angle ABC\)，交\(\overline{AC}\)於\(D\)，過\(C\)做\(\overline{CE}\)垂直\(\overline{BD}\)之延長線於\(E\)，試證明\(\overline{BD}=\overline{DE}\)。
[解答]
幾何弱到掉渣 所以提供暴力代數解
設\(\overline{DE}=x , \overline{CE}=y\)
令\(\overline{AB}=c , \overline{BC}=3c , \overline{AC}=b\)
易知\(\displaystyle \overline{BD}=\sqrt{3c^2-\frac{3}{16}b^2}\)

由畢氏定理得
\(\displaystyle x^2+y^2=\frac{9}{16}b^2\)，\(\displaystyle (x+\sqrt{3c^2-\frac{3}{16}b^2})^2+y^2=9c^2\)

接下來就是整理

\(\displaystyle \frac{3}{16}b^2-3c^2=-\sqrt{3c^2-\frac{3}{16}b^2} \ x\)
\(\displaystyle x=\sqrt{3c^2-\frac{3}{16}b^2} =\overline{BD}\)

第6題
小明發明了一個數線跳棋遊戲,首先將棋子放在原點，然後依序寫出 \(a_1,a_2,\ldots \dots,a_{10}\)等10個相異的整數，接著計算\(a_2－a_1\)的值，並依照計算出來的值移動棋子（例如"\(+3\)"就往右移動3單位，"\(-2\)"就往左移動2單位）。接下來計算\(a_3-a_2\)的值並移動棋子，依序計算並移動\(a_{n+1}-a_n\)的值，直到移動完\(a_{10}-a_9\)的值為止。已知小明隨意將1~10的10個整數填入\(a_1,a_2,\ldots \ldots,a_{10}\)，整個遊戲移動過程中只有轉向一次，最後停在數線上標示為"2"的位置，請問小明將\(1~10\)的10個整數填入\(a_1,a_2,\ldots \ldots,a_{10}\)的方法有　　　種。(例如：\(a_1,a_2,\ldots \ldots,a_{10}\) 依序為\(1,2,6,8,10,9,7,5,4,3\)其移動過程為\(+1,+4,+2,+2,-1,-2,-2,-1,-1\)，只轉向一次，最後停在"2"的位置)
[解答]
這題我也不確定
但想法是這樣

只需考慮頭尾為(1，3) (8，10)的情形
(1，3)的情況:2必排1的後面一位， 將4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10分堆，每一種分堆可以有兩種不同的排列方式

例如:
(5,7) (4,6,8,9,10)  所得排列情形有: 1,2,(5,7),(10,9,8,6,4),3 或者 1,2,(4,6,8,9,10),(7,5),3
(4,7,8)(5,6,9,10)  所得排列情形有: 1,2,(4,7,8)(10,9,6,5),3  或者 1,2,(5,6,9,10),(8,7,4).3

但是如果一次全拿的話 只有1,2,(4,5,6,7,8,9,10),3 這個組合

所以此情形共有\(\displaystyle C^7_0+2(C^7_1+C^7_2+C^7_3)=127\)

同理(8，10)的情況:9必排在10的前面 之後的情況和(1,3)相同也是127種
所以答案為254

以上淺見不知道是否有錯誤 單純和樓主答案想法不同
丟上來討論看看

這樣重複計算
例如
1,2,(5,7),(10,9,8,6,4),3
1,2,(5,7,10),(9,8,6,4),3

感謝提點
還真的沒注意到