引用:
原帖由 three0124 於 2021-5-11 23:16 發表 
想請教第五題如何證明??
謝謝各位
對於任意3階轉移矩陣\(A\)，是否存在機率矩陣\(X=\left[\matrix{x_1\cr x_2\cr x_3}\right]\)，(\(x_1,x_2,x_3\ge 0\)且\(x_1+x_2+x_3=1\))，滿足\(AX=X\)？請論證你的結論。
概略：
計算det(A-I)得0，
因此(A-I)X=0有非零解，
設為X=(x1,x2,x3)的轉置，
驗證x1,x2,x3都大於等於0（或都小於等於0），
又非全0，因此x1+x2+x3不為0(設和為d),
則X/d即符合所求。
115.6.10補充
任何轉移矩陣\(A\)皆可以達到穩定狀態\(AX=X\)。
https://math.pro/db/thread-2297-1-1.html| 穩定狀態的「存在性」 | 長期下來的「收斂性」 |
| 任意轉移矩陣\(A\)，都存在機率向量\(X\)，滿足\(AX=X\)。 | 任意轉移矩陣\(A\) ，從任意初始狀態出發，長期而言皆會收斂至唯一的穩定狀態\(AX=X\)。 |
成立
\(x_1,x_2,x_3\ge1\)且\(x_1+x_2+x_3=1\) | 不成立，反例\(A=\left[\matrix{0&1\cr1&0}\right]\)
矩陣\(A\)須為正則轉移矩陣(或某次方之後所有元素皆大於0) |
