第 9 題
(1) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/(2n - 1) - 1/(2n)
= [1 + 1/2 + ... + 1/(2n - 1) + 1/(2n)] - [1 + 1/2 + ... + 1/(n - 1) + 1/(n)]
= S_(2n) - S_n = ln2 + r_(2n) - r_n
當 n → ∞，所求為 ln2

(2) 1/(1 * 3) + 1/(2 * 5) + 1/(3 * 7) + ... + 1/[n(2n + 1)]
= 2/(2 * 3) + 2/(4 * 5) + 2/(6 * 7) + ... + 2/[2n(2n + 1)]
= 2{[(1/2 + 1/4 + ... + 1/(2n)] - [(1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n + 1)]}
= 2{S_n / 2 - [S_(2n + 1) - 1 - S_n / 2]}
= 2[S_n - S_(2n + 1) + 1]
= 2{ln[n / (2n + 1)] + r_n - r_(2n + 1) + 1]
當 n → ∞，所求為 2 - 2ln2

第六題

第二題

第二題學校好心湊好數據了，應該不用用PDE老師的牛刀
原式=(sinx+cosx+2)^2-4

另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完

引用:

原帖由 cut6997 於 2021-5-2 00:22 發表
第二題學校好心湊好數據了，應該不用用PDE老師的牛刀
原式=(sinx+cosx+2)^2-4

另外想請教13題正確作法
小弟只會慢慢做高斯把前三行消完

令\(M_1=\left(\begin{array}.2&-3&2\\1&-1&1\\3&2&2\end{array}\right)\)，\(M_2=\left(\begin{array}.6&5&-1\\2&1&4\\1&3&-3\end{array}\right)\)，
\(K=\left(\begin{array}.a&b&0\\c&d&0\\e&f&0\end{array}\right)\)
因為\(det(M_1)\neq0,det(M_2)\neq0\)
所以\(M_1,M_2\)都可以變成基本列運算的組合。

則\(M_2×M_1^{-1}×K=\left(\begin{array}.2&15&0\\-12&8&0\\19&4&0\end{array}\right)\)
所得的左邊兩行即是所求

對一下答案，有錯的，還請告知，謝謝

1. (1) \( a_{n}=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}(\frac{-1}{5})^{n-2} \)
    (2) \( \frac 53 \) 抱歉手殘寫錯，謝謝 piano 老師更正
         \( \frac 83 \)
2. \( 2-4\sqrt{2} \)
3. \( \displaystyle \frac{1}{63} \)
4. \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \)
5. 必存在，簡略說明：令 \( A=[a_{ij}]_{3\times3}, \det (A-I) = 0 \)
6. \( 5+25\sqrt{2} \)
7. \( \displaystyle (-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4},0) \) (單位長 6400 公里)
8. 20
9. (1) \( \ln 2 \)
    (2) \( 2 - 2 \ln 2 \)
10. 收斂，簡略說明：各數皆正，交換 Σ 順序，變成2020 個無窮等比級數和
11. 2
12. 250 cm
13. \( (2,-12,19,15,8,4) \)
14. 略，簡略說明：排序，依 \( x_i \) 分段論論目標式的遞增遞減。
15. \( \displaystyle \frac{4\sqrt{6}}{9} \)

感謝BambooLotus老師與son249老師提供題目；

感謝寸絲老師提供答案。

提供電子檔，容易保存。

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複試門檻52
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