計算1
已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
求過A點平行線，得弦心距=1後，半弦長=7
重訂數據，設A'(-12,0)，O'(-5,1)，C': \((x+5)^2+(y-1)^2=50\)，投影線在x軸上
則B點會在y軸上，有兩解x=0代入得y=6或-4(-4時為最小值)
B(0,6)，AB最大值=\(6\sqrt{5}\)

已知四個實數\(a,b,c,d\)，滿足\(abcd=-5\)，\(a(b-1)(c-1)(d-1)=11\)，\(a(b-2)(c-2)(d-2)=33\)，\(a(b-3)(c-3)(d-3)=73\)，則\(a(b+1)(c+1)(d+1)\)的值為　　　。
[解答]
設 f(x)=x^3+px^2+qx+5/a=0 的三根為b,c,d  , 此時bcd=-5/a,它符合了abcd=-5
則 f(x+1)=0  三根為b-1,c-1,d-1 =>(b-1)(c-1)(d-1)= -(1+p+q+5/a)=11/a => p+q=-1-16/a
則 f(x+2)=0  三根為b-2,c-2,d-2 =>(b-2)(c-2)(d-2)= -(8+4p+2q+5/a)=33/a => 2p+q=-4-19/a
則 f(x+3)=0  三根為b-3,c-3,d-3 =>(b-3)(c-3)(d-3)= -(27+9p+3q+5/a)=73/a => 3p+q=-9-26/a
可得 p=-3-3/a=-5-7/a => a=-2 , p=-3/2 , q=17/2
  f(x-1)=0  三根為b+1,c+1,d+1 => (b+1)(c+1)(d+1)=-(-1+p-q+5/a)=27/2
=> a(b+1)(c+1)(d+1)=-27

可以請教詳細過程嗎?

先找出折起來的角DAB或DCB的cos
再用餘弦定理就可以得到對邊了

想請問計算2的答案是2 和 根號41 嗎?

對

計算一
已知\(A\)、\(B\)兩點均在圓\(\Gamma\)：\((x+1)^2+(y-4)^2=50\)上，其中\(A\)坐標為\((-6,9)\)，若\(\vec{AB}\)在直線\(L\)：\(3x+4y+32=0\)的正射影長為12，\(|\;\vec{AB}|\;\)的最大值。
[解答]
不過很暴力就是了

把整個圖形平移，圓形平移變成一個圓心在原點的圓，得\(x^2+y^2=50\)
則平移過後的點\(A'(-5，5)\)，然後令\(B(5\sqrt2 cos\theta,5\sqrt2 sin\theta)\)
得\(\vec {AB}=(5\sqrt2 cos\theta +5,5\sqrt2 sin\theta -5)\)，所求為\(\displaystyle \sqrt{50\sqrt2 (cos\theta-sin\theta)+100}\)
之後再用正射影長公式列出關係式
解三角函數，代回去求最大值

在長方形\(ABCD\)中，\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{BC}=4\)，今將此長方形沿對角線\(\overline{AC}\)折起。若折起後的半平面\(ACD\)與半平面\(ABC\)所夾的兩面角為\(\theta\)(\(0^{\circ}\le \theta \le 180^{\circ}\))，則\(\overline{BD}\)的長度為　　　(以\(\theta\)表示)。
[解答]
坐標化解法

如果，倒過來，要先 找一般項，那怎麼找? 再反推 起始值

填1
若滿足\(2^k \cdot 4^m \cdot 8^n=512\)之正整數\((k,m,n)\)共有\(a\)組，滿足\(4^p \cdot 3^q \cdot 6^r=2^{11} \cdot 6^{16}\)之正整數\((p,q,r)\)共有\(b\)組，則數對\((a,b)=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle 2^{k+2m+3n}=2^9\rightarrow k+2m+3n=9\rightarrow(2,2,1)(1,1,2)(4,1,1)\)
\(\displaystyle 2^{2p+r}*3^{q+r}=2^{27}*3^{16}\)
\(\begin{cases}2p+r=27\\q+r=16\end{cases}\rightarrow(13,15,1)(12,13,3)(11,11,5)(10,9,7)(9,7,9)(8,5,11)(7,3,13)(6,1,15)\)
\((a,b)=(3,8)\)