第一題
高三上期末考結束後，大雄想請假在家讀書以全力準備學測，但學校規定「連續三日以上 (含三日)請假需請家長到校證明」，若大雄每天可以自由選擇上學或請假，而且他不想麻煩雄爸到校證明，那大雄本週一到週五出缺席的狀況有　　　種。
[解答]
全-不合(連三)
=2^5-3日請假-4日請假-5日請假
=32-3-4-1
=24
三日000xx x000x xx000
四日不合的00x00免家長來
五日00000

第二題
投擲一枚不均勻的硬幣，已知正面出現的機率是\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，反覆投擲，設數列\(\langle\;a_n\rangle\; \)定義如下：\(a_n=\cases{1，第n次投擲出現正面\cr -1，第n次投擲出現反面}\)，若\(S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n\)，則事件「\(S_8=2\)」的機率為　　　。
[解答]
S8=a1+...+a8
相當於二正後面三正三反對消
C8-3(1/3)^5(2/3)^3
=448/6561

第三題
若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設八面體的體積為\(a\)，正立方體的體積為\(b\)，求\(\displaystyle \frac{a}{b}=\)　　　。(以最簡分數表示)
[解答]
令正立方體邊長為1
正八邊形相當於二個金字塔
正八邊形邊長相當於等腰直角三角形之斜邊
腰長=1/2
因此斜邊=根號2/2
正八邊形體積=2*正四面體=2*1/3底面積*高
=2*1/3*1/2*1/2
=1/6
因此a/b=1/6

111.1.5版主補充圖形

請教13和15

13.
坐標平面上，在圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=4\)上取兩點\(A\)、\(B\)，使此兩點在\(x\)軸上方，且摺回劣弧\(AB\)使其恰與\(x\)軸相切於\((1,0)\)，則直線\(\overline{AB}\)的直線方程式為　　　。
[解答]
找 \(x^2+y^2=4\) 和 \((x-1)^2+(y-2)^2=4\) 的根軸 \(2x+4y=5\)

15.
有一個不公正的硬幣，投出正面的機率為\(\displaystyle \frac{2}{3}\)，投出反面的機率為\(\displaystyle \frac{1}{3}\)，若投擲50次，則硬幣出現\(2k\)次(\(k=0,1,2,\ldots,25\))正面的機率為\(\displaystyle \frac{1}{a}(b+\frac{1}{c^d})\)，其中\(a,b,c,d\in N\)，且\(c\)為質數。求數組\((a,b,c,d)=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{25} C^{50}_{2k} \left(\frac{2}{3}\right)^{2k}\left(\frac{1}{3}\right)^{50-2k}\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3}\right)^{50} \sum\limits_{k=0}^{25} C^{50}_{2k} 2^{2k}\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{3}\right)^{50} \cdot \frac{(2+1)^{50}+(2-1)^{50}}{2}\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}\left[1+\frac{1}{30^{50}}\right]\)

4.
設\(\omega\)為方程式\(x^5=i\)的一根，試求\(|\;1-\omega|\;\)的最大值　　　。(請以\(asin\theta\)表示，其中\(a>0\)，\(\theta\)為銳角)
[解答]
X^5=i=cos(pi/2+2kpi)+isin(pi/2+2kpi)
用隸美弗定理k=0,1,2,3,4
角度分別為18.90.162.234.306度
(速解)
一半角度9.45.81.117.153度
原式=2sin一半角度
sin是增函數因此最大值2sin81度
(推導)
用二倍角公式轉換成半角公式
絕對值=根號a平方+b平方
再代換在平方和根號對消
最後解出2sin一半角度

6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
[解答]
根與係數和海龍公式
a+b+c=10
ab+bc+ac=44
abc=14
s=1/2(a+b+c)=5
三角形面積=根號s(s-a)(s-b)(s-c)=9根號5
(PS)詳細的代換就自己試吧

7.
一個凸四邊形\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，\(\overline{CD}=5\)，且\(\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}\)，則內積\(\vec{BC}\cdot \vec{AD}=\)　　　。
[解答]
相當於圓內接四邊形
AD=5根號3   AC
根據托勒密定理
BD=4+3根號3(二對邊相乘和=對角線相乘)
內積BC*AD=(BD+DC)*AD
答案27+12根號3  我算過一遍沒錯
應該也可以BC*(AB+BD)分解
直角的向量為0

請教9.12.14

填題 9.
相機的影像是光線投射在一片長方形的感光元件(CMOS)上，再轉換為電子訊號儲存在記憶體中，我們看到的相片為由此感光元件接收到之光線所呈現。已知相機在拍攝時，因為光線的折射與感光元件等因素會導致影像變形。假設有一款手機上的相機，在初始設計上影像會產生線性變形，即照片上的影像為真實影像產生旋轉、伸縮、推移等線性變換。如右圖，為了校正此變形，設定一個座標平面上的正方形 \(ABCD\)，其中\(O\)為原點，\(A(1,0)\)、\(B(1,1)\)、\(C(0,1)\)，以此相機拍攝此正方形後，相片上呈現平行四邊形\(OA'B'C'\)影像，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)分別變換至\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，且\(\displaystyle A'\left(\frac{24}{25},\frac{7}{25}\right)\)、\(\displaystyle C'\left(\frac{-1}{7},1\right)\)。工程師發現此變形是影像先產生沿\(x\)軸方向的推移變換，然後再以原點\(O \)為中心旋轉\(\theta\)角所導致，於是工程師利用軟體將照片上的影像坐標先旋轉\(-\theta\)角，再經由一個二階方陣\(M\)線性變換為正確的影像坐標，則此方陣\(M\)為　　　。
[解答]
依題意知 \( \theta \) 為銳角，且 \( \cos \theta  = \frac 7{25} \)
將 \( C' \) 轉 \( -\theta \) 回去，即 \( \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{24}{25} & \frac{7}{25}\\
-\frac{7}{25} & \frac{24}{25}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\
\:1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}\\
1
\end{pmatrix} \)

故，原沿 x 軸方向的推移，將 \( C(0,1) \) 推至 \( (\frac{1}{7},1) \) ，故此推移矩陣為 \( \begin{pmatrix}\displaystyle1 & \frac{1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix} \)，其反方陣為 \( \begin{pmatrix}\displaystyle 1 & \frac{-1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix} \)

填充 14.
假設地球是完美的球形，沿著北緯\(60^{\circ}\)線將地球剖成兩塊，若小塊的體積；大塊的體積比\(\displaystyle =1:\frac{(a+b\sqrt{3})^2}{c}\)，其中\(a,b,c\in N\)，且\(c\)為質數。求數組\((a,b,c)=\)　　　。
[解答]
依題意
\(\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c}=\left(\int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx\right)/\left(\int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx\right) \)

計算積分得 \(\displaystyle \int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx=3\sqrt{3}+\frac{16}{3}, \int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx=-3\sqrt{3}+\frac{16}{3} \)

故 \(\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c} = \frac{16+9\sqrt{3}}{16-9\sqrt{3}} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{256-243} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{13} \)

故 \( (a,b,c) = (16,9,13) \)