順便詢問一下第12題，應該是小細節的問題
由柯西不等式可以知道\(n=1，2，3，4 \)
接著一一去檢驗
1，2，4都好驗證
唯獨n=3的時候頭疼了一陣子
事後發現取\(x_1=1 \)，剩下兩個變數\(x_2，x_3 \)剛好會是正實數解
所以n=3也會成立
以下是不知道能不能這樣想的一般情形做法，還請各位先進指點指教
根據\(\displaystyle\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=2 \)
可令\(x_1 x_2 x_3=t ,x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=2t \)
因此\(x_1,x_2,x_3 \)為 \(A^3-8A^2+2tA-t=0 \)的三根
令\(f(A)=A^3-8A^2+2tA-t=0 \),則\(f'(A)=3A^2-16A+2t \)
要有三實根，故\(f'(A)=0 \)需有兩實數根 \(\alpha,\beta \)
因此首先\(\displaystyle 256-12t>0，t<\frac{64}{3} \)..........(1)
而\(f(\alpha)g(\beta)=(\displaystyle \frac{4}{3}t-\frac{128}{9})(\alpha+\beta)+\frac{50}{9}t \)
又 \(\displaystyle\alpha+\beta=\frac{16}{3} \)
因此\(\displaystyle f(\alpha)f(\beta)=\frac{114}{9}t-\frac{2048}{27}<0 \)
\(\displaystyle t<\frac{1024}{171} \)...........(2)
最後因為三根皆為正，所以\(f(0)<0 \)，得\(t<0 \)...........(3)
由(1)(2)(3)只要\(t<0 \)，即\(x_1 x_2 x_3<0 \) ，必能保證\(x_1, x_2 ,x_3 \)為正實數解
