先感謝信哥提供了10幾年前的題目
讓版上的後生有機會能練習到這些題目

由於這份沒看到相關的討論串 因此自開一串
之後版上沒討論串 沒答案的 小弟會盡自己所能把答案算出附上
再請各位先進指教

另外想請問這份的計算1 2
1. \(\displaystyle \frac{53}{55} \)
2. (1) \(\displaystyle \frac{35\sqrt{30}}{6} \)  (2)\(\displaystyle \frac{35\sqrt{30}}{6\sqrt{1081}}\) (超醜...不知道是不是算錯)
3.12
4.80
5.\({\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{1}{2}
\end{array}
\right ]} \)
6.\(\displaystyle 2\sqrt{2} \)
7.ABD
8.\( 8\pi + 40\tan^{-1}2 \)
9.x+3y=6
10.\( m=\pm\frac{4}{3}, \pm\frac{2\sqrt{5}}{3} \)
11.\(\displaystyle -1<m<1 \)
12.\(\displaystyle \frac{1}{2}\)
13.10

計算3
\(\langle\;F_n\rangle\;\)為費氏數列，即\(F_1=F_2=1\)且\(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\)在\(n \in N\)均成立，令\(\displaystyle \lambda_n=\frac{F_{2n}}{F_{2n-1}}\)。
(1)證明\(\lambda_{n+1}=2-\frac{1}{1+\lambda_n}\)
(2)證明\(\langle\; \lambda_n \rangle\;\)為遞增數列
(3)證明\(\lambda_n\)收斂
(4)求\(\langle\;\lambda_n \rangle\;\)之極限
[解答]
(1)考慮\(\displaystyle F_{2n+2}=F_{2n+1}+F_{2n} \)
\(\displaystyle  \lambda_{n+1}=1+\frac{F_{2n}}{F_{2n+1}} =2-(1-\frac{F_{2n}}{F_{2n+1}}) \)
\(\displaystyle  \lambda_{n+1}=2-(\frac{F_{2n+1}-F_{2n}}{F_{2n+1}})=2-(\frac{F_{2n-1}}{F_{2n+1}})\
=2-\frac{1}{\frac{F_{2n+1}}{F_{2n-1}}}=2-\frac{1}{\frac{F_{2n}+F_{2n-1}}{F_{2n-1}}}\
=2-\frac{1}{1+\lambda_{n}} \)

(2)\(\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=\frac{3}{2}, \lambda_{3}=\frac{8}{5} \)
設\(n=k \)時，\(\displaystyle  \lambda_{k+1}> \lambda_{k} \)
當\(n=k+1 \)時，\(\displaystyle \lambda_{k+2}=2-\frac{1}{1+\lambda_{k+1}}>2-\frac{1}{1+\lambda_{k}}=\lambda_{k+1} \)
根據數學歸納法
\(\displaystyle {\lambda_{n}} \)遞增

(3)\(\displaystyle \lambda_{1}=1<2, \lambda_{2}=\frac{3}{2}<2, \lambda_{3}=\frac{8}{5}<2 \)
設\(\displaystyle n=1,2,...k, \lambda_{n}<2 \)皆成立
此時可知\(\displaystyle \lambda_{k+1}=2-\frac{1}{1+\lambda_{k}}<2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}<2 \)
當\(n=k+1 \)時
\(\displaystyle \lambda_{k+2}=2-\frac{1}{1+\lambda_{k+1}}<2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}<2 \)
根據數學歸納法
\(\displaystyle {\lambda_{n}} \)有界

(4)因為\(\displaystyle {\lambda_{n}} \)遞增且有界，所以收斂，令其收斂值為\(\alpha \)
可得 \(\displaystyle \alpha=2-(\frac{1}{1+\alpha}) \)
解得\(\displaystyle \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)

我算，不同的地方
7. ABD
AB 都是因為重根，應該兩個選項皆正確
8. \( 8\pi + 40\tan^{-1}2 \)
9. \( x+3y = 0 \) 是符合題意的一條直線，但符合的直線卻有無線多條 (筆誤 應為 \( x+3y =6 \) )
10. \(\displaystyle m=\pm\frac{4}{3}, \pm\frac{2\sqrt{5}}{3} \)
兩個切線、兩個和漸近線平行
13. 10
樣本標準差，分母是 \( n-1 \)

計算2.
設自然數\(A=11\ldots122\ldots25\)，由\(n\)個1，\((n+1)\)個2，以及1個5所組成。試證明\(A\)是一個完全平方數。
[解答]
我們將證明：\( A=(33\ldots35)^{2} \)，由 \( n \) 個 3, 1 個 \( 5 \) 組成。

令 \( m=n+1 \)

\(\displaystyle (\frac{10^{m}-1}{3}+2)^{2}=\frac{10^{2m}-2\cdot10^{m}+1}{9}+4\cdot\frac{10^{m}-1}{3}+4 \)

\(\displaystyle =\frac{10^{2m}+10^{m+1}-11}{9}+4=\frac{10^{2m}-1}{9}+\frac{10^{m+1}-1}{9}+3 \)

其中 \(\displaystyle \frac{10^{2m}-1}{9} = \frac{99\cdots9}{9}=11\cdots1 \)，由 \( 2m \) 個 1 組成。
        \(\displaystyle \frac{10^{m+1}-1}{9} = \frac{99\cdots9}{9}=11\cdots1 \)，由 \( m+1 \) 個 1 組成。

故 \(\displaystyle (33\ldots35)^{2} = (\frac{10^{m}-1}{3}+2)^{2} = A \)

謝謝寸斯老師的指教
以下有幾個問題想再次請教
7，10小弟明白了
8.是否能詳細講一下過程
9.所以答案這題應該要怎麼寫才好，另外x+3y=0看起來並不會平分面積
13.如何知道這題是要求樣本而非母體標準差

8的部分 小弟是考慮
(1)\(\displaystyle (2x+y)(2x-y)\leq 0 , x^2+y^2\geq 28 \)
(2)\(\displaystyle (2x+y)(2x-y)\geq 0 , x^2+y^2\leq 28 \)
當然自然限制為\(\displaystyle x^2+y^2 \leq 36 \)
這樣的圖形是否有誤

8.
設座標平面上，不等式\(2^{x+2y}\times\{\;log_{\frac{1}{2}}(-x^2-y^2+36)+3\}\;\times(4x^2-y^2)\le 0\)所表區域為\(S\)，求\(S\)之面積？
[解答]
我也是同樣的分類，寫一下式子
\( (2x+y)(2x-y) =0 \) 的圖形為兩直線交於原點，將平方分割成上、下、左、右四個區域
其中左右區域對應的不等式為 \( 4x^{2}-y^{2} >0 \)，上下區域對應的不等式為  \( 4x^{2}-y^{2} <0 \)

左右的面積 \( \frac{1}{2}\cdot 28 \cdot (4\tan^{-1}2) \)
上下的面積 \( \frac{1}{2}\cdot(36-28)(2\pi-4\tan^{-1}2) \)
總面積 \( 8\pi+40\tan^{-1}2 \)
寫成 arcsin 的樣子的話是  \( 28\pi-20\sin^{-1}\frac{4}{5} \)

9. 我筆誤，應為 \( x+3y =6 \)。我是認為出題者沒有考慮周全，造成不唯一解，但除了這條線以外，其它條直線大概都寫不出個好看的樣子。

13. 有 A、B 兩校分別"抽樣" 20 人 及 30 人...
關鍵字是抽樣

計算1.
親親食品公司所生產的水餃，每顆重量算術平均數為40克，標準差為2克。每100顆水餃裝一包販售，每包重量規格標示為4000克±40克。隨機抽查檢驗該公司市面上販售的水餃，檢查到低於規格下界之機率
[解答]
利用中央極限估計之，
100顆總重的標準差為 \( \sqrt{100}\cdot2=20 \)

\( 4000 - 40 = 4000 - 2\cdot 20 \)

故所求機率約為\(\displaystyle \frac{1-0.9544}{2}=0.0228 \)

謝謝寸斯老師的指教