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請問拋物線 一題

本主題由 bugmens 於 2021-10-8 09:49 移動
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請問拋物線 一題

已知點\(A\)與點\(B\)是拋物線Г:\((y-3)^2=12x\)與直線L:\(2x-3y-30=0\)的兩個交點,點\(F\)是拋物線Г的焦點。若\(∠AFB\)的角平分線方程式為\(2x+ay-b=0\),則有序數對\((a,b)=\)   

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2021-1-20 22:36

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設 A(x1, y1),B(x2, y2), 且角AFB的平分線交AB於 P,

令拋物線Γ 的交點 F(3,3),準線 M: x=-3

將 L: y= (2/3)*x-10 帶入拋物線Γ: (y-3)^3 =12x

整理得 4x^2 - 264x+1521 = 0,

得 x1+x2 = 264/4 = 66, x1*x2 = 1521/4

因為 PF 為 角AFB的平分線,所以 PA : PB = FA:FB

因為 F為焦點,所以 FA:FB = d(A,M) : d(B,M) = (x1+3) : (x2+3)

合併以上兩者,得 PA : PB = (x1+3) : (x2+3)

由分點公式,得 P 點的 x 坐標為 [x2*(x1+3)+x1*(x2+3)]/[(x1+3)+(x2+3)]

= [2*x1*x2 + 3(x1+x2)]/(x1+x2 +6) = 213/16

帶入直線 L,得 P 點 y 坐標為 -9/8,

由 F(3,3) 與 P(213/6, -9/8),得 PF直線方程式為 2x+5y-21=0 。

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