回復 2# satsuki931000 的帖子
換個作法做，用列運算，列運算做完的同時，也差不多構造完例子了
原三平面恰交於一點，表示經過一系列的列運算可化簡如下
\( \begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3}
\end{bmatrix}\to...\to\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & p\\
0 & 1 & 0 & q\\
0 & 0 & 1 & r
\end{bmatrix} \)，其中 \( (p,q,r) \) 為交點坐標。
將新的三平面聯立方面式同樣的列運算化簡得
\( \begin{bmatrix}b_{1} & c_{1} & d_{1} & a_{1}\\
b_{2} & c_{2} & d_{2} & a_{2}\\
b_{3} & c_{3} & d_{3} & a_{3}
\end{bmatrix}\to...\to\begin{bmatrix}0 & 0 & p & 1\\
1 & 0 & q & 0\\
0 & 1 & r & 0
\end{bmatrix} \)
(1) 若 \( p\neq0 \)，則新的聯立方程式有唯一解，故其相交情形為 (A)
(2) 若 \( p=0 \)，則 \( \begin{bmatrix}b_{1} & c_{1} & d_{1} & a_{1}\\
b_{2} & c_{2} & d_{2} & a_{2}\\
b_{3} & c_{3} & d_{3} & a_{3}
\end{bmatrix}\to...\to\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & q & 0\\
0 & 1 & r & 0
\end{bmatrix} \)，故此三平面中其二交於一直線，且此直線與另一平面平行。僅(D)(E)符合此特徵。
利用逆做列運算構造例子：新三平面方程式 \( \begin{cases}
t_{1}(x+qz)+s_{1}(y+rz) & =1\\
t_{2}(x+qz)+s_{2}(y+rz) & =0\\
t_{3}(x+qz)+s_{3}(y+rz) & =0
\end{cases} \) (此組方程式上下順序可能與原先不同)。
\( t,s \) 是否成比立決定其中的兩平面法向量是否平行 (\( q,r \) 不重要)
故(D)(E)皆有可能，例如以下
(D) \( (t_{1},s_{1},t_{2},s_{2},t_{3},,s_{3})=(1,0,1,0,0,1) \)
(E) \( (t_{1},s_{1},t_{2},s_{2},t_{3},,s_{3})=(1,1,1,0,0,1) \)
----------------我是分隔線，讓我離題一下-------------------
原題為：若三平面...，則"三平面"...
但只符合若的條件的情況下，則後面的聯立方程式組可能不是三平面啊！
例如：原三平面 \( x =0, y=0, z=0 \), 新的三個方程式 \( 0=1, x=0, z=0 \)
