請問對於所有的自然數\(n>1\),\(2^n+3^n<4^n\) , 及\(3^n+4^n\le 5^n\)
有沒有數學歸納法之外的方法可以說明這兩個不等式是正確的？

對於所有大於 1 的自然數 \( n \), 不等式  \( 3^n + 4^n \leq 5^n \) 恆成立
證. 設 \( n \) 為大於 1 的自然數，則 \( n\geq 2\)

\( 5^n = 25\cdot 5^{n-2} = 9 \cdot 5^{n-2} + 16 \cdot 5^{n-2} \geq 9\cdot 3^{n-2} + 16\cdot 4^{n-2} = 3^n +4^n \)，故得證。

另一個命題，留著自己試試吧

謝謝兩位老師