3.
空間中,四面體\(PABC\)的邊長為：\(\overline{AB}=3,\overline{BC}=\sqrt{13},\overline{CA}=2,\overline{PA}=\sqrt{5},\overline{PB}=\sqrt{8},\overline{PC}=3\).
若平面\(E\)垂直\(\Delta ABC\)且平行\(\overline{AC}\)邊，令點\(P'\)為\(P\)點在\(\overline{AB}\)邊的投影點，點\(Q\)為\(E\)與\(\overline{AB}\)邊的截點，試求：
(1)平面\(ABP\)與\(ABC\)的兩面角
(2)\(E\)與四面體所截之多邊形面積最大值為何？此時\(\displaystyle \lambda=\frac{1}{\overline{AQ}}-\frac{1}{\overline{AP'}}=\)？
(3)將\(P\)點變更為：不在平面\(ABC\)上且點\(P'\)在\(\overline{AB}\)邊上(非端點)，證明截面積有最大值時\(\lambda\)為定值
想請教第三題的第三小題。謝謝～
能找到截面積為
\[f(t)=4t-\frac{8}{3}t^2 \]
所以在\[t=\frac{3}{4}\]時
\[f(\frac{3}{4})=\frac{2}{3}\]有最大值
\[\lambda =\frac{1}{3}\]
再來第三小題就想不出來了～
能否請大大們賜教，拜託了，謝謝～
111.2.5補充
給定正整數\(a>b\)，對任意正整數\(n\)皆存在正整數\(m\)，使得\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^n=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)
試問：
(1)找出並證明符合此條件的所有數對\((a,b)\)
(2)數對\((a,b)\)的方程式\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^3=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)，在\(m\)是哪些正整數時，沒有正整數對解？
(1)若\((\sqrt{2}-1)^5=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)，則正整數\(m\)之值為何？
(2)請證明存在某一正整數\(m\)滿足：\((\sqrt{2}-1)^{2017}=\sqrt{m+1}-\sqrt{m}\)。
(106全國高中聯招，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=1#pid17237)
