我第一題也是這樣硬幹...

本來想用數列的一般項去找，不過感覺更麻煩

我也是如此，都列到第50…項時，都感覺快要懷疑人生，
最後在第59和60項時，終於…覺得太機車了。
個人認為很多人都會窮舉列出來，但是有些會半途棄車。

我也是列出
但列到第16項、第17之後
發現相同數字出現且是7的倍數
後面就可以省略了
有前15的規律+7的冪次規律
就很快結束了～
（不放心當然可以列完）

計算2
若\(a\)是一個有理數且滿足\(\displaystyle \frac{1}{\root 3 \of 4+\root 3 \of 2+a}=\alpha \root 3 \of 4+\beta \root 3 \of 2+\gamma\)，其中\(\alpha,\beta,\gamma\)為有理數。試求\(\alpha,\beta,\gamma\)(用\(a\)表示)
[解答]
用乘法公式解決
\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
\(\displaystyle \frac{\root 3 \of{16}+\root 3 \of{4}+a^2-\root 3 \of{4}a-\root 3 \of{2}a-2}{(\root 3 \of{4}+\root 3 \of{2}+a)(\root 3 \of{16}+\root 3 \of{4}+a^2-\root 3 \of{4}a-\root 3 \of{2}a-2)}=\frac{\root 3 \of{4}(1-a)+\root 3 \of{2}(2-a)+(a^2-2)}{(\root 3 \of{4})^3+(\root 3 \of{2})^3+a^3-3 \cdot \root 3 \of{4}\cdot \root 3 \of{2}\cdot a}=\alpha \root 3 \of{4}+\beta \root 3 \of{2}+\gamma\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{1-a}{a^3-6a+6},\beta=\frac{2-a}{a^3-6a+6},\gamma=\frac{a^2-2}{a^3-6a+6}\)

110.2.25補充
更多三次根號化簡的題目，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1041&page=1#pid2840

如果\(p,q,r\)是三個相異的質數且滿足\(\cases{(p-1)|\;(pqr-1)\cr (q-1)|\;(pqr-1)\cr (r-1)|\;(pqr-1)}\)
則稱合成數\(pqr\)為卡邁克爾數。試確定所有\(r=3\)的卡邁克爾數。

版上老師好

有關邁克爾數這題只找到561=3*11*17

在r=3時,要怎麼確認只有這一種可能呢?

考慮 mod 5.....
1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,
4,4,3,2,0,2,2,4,1,0
每20 個 一循環 , 2020剛好是20 倍數 ,故取倒數三個 014
再看奇偶性 a1=奇,a2=奇,a3=偶,  a4=奇,a5=奇,a6=偶
奇偶性每3 個 一循環 , a2020奇偶性與a4奇偶性一樣
a2019奇偶性與a3奇偶性一樣, a2018奇偶性與a2奇偶性一樣
故014 配上奇偶奇,在mod 10 時就變成569.....即為所求

計算1
不失一般性，令\(p<q\)，\(p-1|3pq-1\)，\(p-1|3pq-1-p+1=p(3q-1)\)
由\((p,p-1)=1\)知\(p-1|3q-1\)，同理，\(q-1|3p-1\)  (考試的時候只有得到類似的結論就猜11跟17)
\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}<\frac{3q-1}{q-1}=3+\frac{2}{q-1}\le3+\frac{2}{7-1}=3.\cdots\)

(1) 若\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}=1\)，\(3p=q\)，不合

(2) 若\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}=2\)，\(\displaystyle\frac{3q-1}{p-1}=\frac{9q-3}{2q-4}\)
由\(\displaystyle\lim_{q\to\infty}\frac{9q-3}{2q-4}=4.5\)和\(q=7\)時\(\displaystyle\frac{9q-3}{2q-4}=6\)知\(\displaystyle5\le\frac{9q-3}{2q-4}\le6\)
討論可知\(\displaystyle\frac{9q-3}{2q-4}=5\)時\(p=11,q=17\)

(3) 若\(\displaystyle\frac{3p-1}{q-1}=3\)，\(3p=3q-2\)，不合

瞭解了！！感謝swallow7103、BambooLotus老師

謝謝BambooLotus老師指點計算ㄧ

令p=2m+1,q=2n+1
代換可得
m |  3n+1
n  |  3m+1
->mn  |  9mn+3m+3n+1
->m=5 , n=8
->p=11, q=17