各位老師好，找了討論區沒看到有這份考古題的討論
題目和答案在附檔，想請問以下這些題目(4,6,11,12,18,23,24,25)的解法，謝謝老師們

在圓\(x^2+y^2=1\)上取一點\(A\)，在平面\(E\)：\(3x+4y+12z=12\)上取一點\(B\)，若使得\(\overline{AB}\)有最小值\(m\)，則\(m=\)？
(A)\(\displaystyle \frac{11}{15}\)　(B)\(\displaystyle \frac{9}{14}\)　(C)\(\displaystyle \frac{7}{13}\)　(D)\(\displaystyle \frac{5}{12}\)
[解答]

第 6 題
設在\(\Delta ABC\)中，\(a,b,c\)分別為角\(A,B,C\)對邊的邊長，且\(2asinA=(2a+c)sinB+(2c+b)sinC\)，則\(sinB+sinC\)的最大值為何？
(A)4　(B)3　(C)2　(D)1
題目有問題
sinx 最大才 1，sinB + sinC 怎麼可能是 3


第 11 題
設集合\(A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\)，試問集合\(A\)有多少個子集合(包含空集合)至多包含三個連續整數中的一個數？
(A)125　(B)127　(C)129　(D)131
[提示]
https://math.pro/db/thread-1761-1-7.html


第 23 題
參考 100 彰女
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1113&page=3#pid4981


第 24 題
將\(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\)共10個數字放入下方2列5行的格子內，每個格子恰好放入一個數字且數字不能重複，並規定：
(1)每一行下面的數字不能比上面大(2)每一列左邊的數字不能比右邊大。請問共有幾種填入數字的方式？
☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐
(A)42　(B)44　(C)46　(D)48
[提示]
Catalan Numbers
參考 https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1658&page=1#pid8642

第12題
設\(f(x)=x^2+8x+8\)，若\(R=\{\;(x,y)|f(x)+f(y)\le 0且f(x)-f(y)\le 0\}\;\)，則\(R\)的面積為何？
(A)\(11\pi\)　(B)\(10\pi\)　(C)\(9\pi\)　(D)\(8\pi\)
[解答]
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)={{x}^{2}}+8x+8={{\left( x+4 \right)}^{2}}-8 \\
& f\left( x \right)+f\left( y \right)={{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}-16\le 0 \\
& {{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( y+4 \right)}^{2}}\le 16 \\
&  \\
& f\left( x \right)-f\left( y \right)={{\left( x+4 \right)}^{2}}-{{\left( y+4 \right)}^{2}}\le 0 \\
& \left( x+y+8 \right)\left( x-y \right)\le 0 \\
\end{align}\)
畫出圖形就有答案了


第18題
投擲一枚均勻硬幣8次，在最初3次的投擲中曾出現正面的條件下，8次投擲中恰出現4次的機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{5}{32}\)　(B)\(\displaystyle \frac{65}{256}\)　(C)\(\displaystyle \frac{105}{256}\)　(D)\(\displaystyle \frac{65}{224}\)
[解答]
前三次至少出現一次正面的情形有\({{2}^{8}}-{{2}^{5}}\)種
所求\(=\frac{C_{3}^{3}\times C_{1}^{5}+C_{2}^{3}\times C_{2}^{5}+C_{1}^{3}\times C_{3}^{5}}{{{2}^{8}}-{{2}^{5}}}\)

第25題
考慮平面坐標中，拋物線\(\Gamma\)：\(y^2=x+3\)，直線\(L\)：\(y=x-3\)與兩坐標軸在第一象限所圍成的有界區域為\(S\)；則\(S\)繞\(x\)軸旋轉所得的旋轉體之體積為何？
(A)\(9\pi\)　(B)\(\displaystyle \frac{125}{6}\pi\)　(C)\(27\pi\)　(D)\(\displaystyle \frac{81}{2}\pi\)
[解答]
\(\pi \int_{0}^{6}{\left( x+3 \right)dx-}\pi \int_{3}^{6}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}dx}\)

想請問第5、13、19、20、21題該怎麼寫？另外想問第12題的圖形是由一個圓和另一個是什麼的圖形所形成的交集呢？不好意思問題有點多，謝謝~~

第五題是否出錯了?
題目要求是橢圓，但給的形式不可能是橢圓

第 5 題
題目有問題

第 12 題
另一個是 (x - y)(x + y + 8) ≦ 0
分別畫 x - y ≧ 0，x + y + 8 ≦ 0 和 x - y ≦ 0，x + y + 8 ≧ 0

第 13 題
試問：\(100!+1,100!+2,100!+3,\ldots,100!+99,100!+100\)中，共有幾個數是質數？
(A)0　(B)1　(C)25　(D)26
[解答]
由 Wilson 定理，100! + 1 是 101 的倍數
而後面的 100! + a 都是 a 的倍數

第19題
設一橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1\)，點\(A(9,5)\)，焦點\(F\)在中心點的右側，\(P\)為\(\Gamma\)上的動點，則\(\overline{PA}-\overline{PF}\)之最小值為何？
(A)5　(B)8　(C)\(\sqrt{61}\)　(D)\(4\sqrt{46}-7\)
[解答]
PA - PF = PA - (8 - PF') = PA + PF' - 8

第20題
有10間房間，第1間有1人，第2間有2人，…，第10間有10人，共55人；從這55人中任選2人，則此2人不在同一房間的選法共有幾種？
(A)1215　(B)1320　(C)1440　(D)1485
[解答]
\(C_{2}^{55}-\left( C_{2}^{2}+C_{2}^{3}+\cdots +C_{2}^{10} \right)\)

第21題
以知某三角形的二高分別為4與12，若第三高之長為\(h\)，則\(h\)介於下列哪一個範圍內？
(A)\(2<h<5\)　(B)\(3<h<6\)　(C)\(4<h<7\)　(D)\(5<h<8\)
[解答]
\(\begin{align}
  & 4a=12b=hc \\
& a=\frac{hc}{4},b=\frac{hc}{12} \\
&  \\
& \frac{hc}{4}+\frac{hc}{12}>c \\
& \frac{hc}{4}-\frac{hc}{12}<c \\
\end{align}\)