n為非負整數，且n不是41的倍數，n也不是41的倍數減1，請證明「n為(40+某個平方數)」為「(n²+n+41)為合數」的充分非必要條件。謝謝！
(感謝Euler大師留下這麼有趣的多項式)

[ 本帖最後由 克勞棣 於 2020-1-26 23:53 編輯 ]

(1) 先證充分條件
若存在正整數m, 使得 n = 40 + m²
n² + n + 41
= ( 1600 + 80m² + m^4 ) + ( 40 + m² ) + 41
= m^4 + 81m² + 1681
= ( m² + 41 )² - m²
= ( m² + m + 41 )( m² - m + 41 ) , 為合數

(2) 非必要條件的反例
取 n = 84 , 則:
n ≡ 2 ( mod 41 ) , 滿足「n不是41的倍數,n也不是41的倍數減1」
84² + 84 + 41 = 7181 = 43 X 167 , 為合數.
n - 40 = 44 , 非平方數, 因此「n為(40+某個平方數)」不成立.

Q.E.D.