若 { 1 } 算是楊輝三角形的第1列, 則 { 1 , 1 } 是第2列, { 1 , 2 , 1 } 是第3列.
自三角形頂部往下作中垂線,有以下性質:
(1) 因為 C( n , m ) = C( n , n-m ) , 故此中垂線為對稱軸,左右兩邊與對稱軸等距的數字皆相同.
(2) 若 m 為常數, 定義 f(n) = C( n , m ) , 則 f(n) 為遞增函數.
(3) 若 n 為常數, 定義 g(n) = C( n , m ) , 則 g(n) 在對稱軸左邊為遞增函數,在對稱軸右邊為遞減函數
下表為第100~126列的左邊行摘要,也可看出以上性質.
依據以上性質,考慮以下所有可能 C( n , m ) = 2020 的解:
先考慮對稱軸左邊是否有解,若有解,則由性質(1)可得其對稱解.
( i ) 當 n ≥ 101 且 2 ≤ m ≤ 對稱軸, 由性質(2)與(3)知, C( n , m ) ≥ C( 101 , 2 ) = 5050 > 2020
因此在 n ≥ 101 且 2 ≤ m ≤ 對稱軸 區域, C( n , m ) = 2020 無解.
( ii ) 當 n ≥ 101 且 ( m = 0 或 1 ) , 顯然只有 ( n , m ) = ( 2020, 1 ) 一組解.
再由性質(1)得右邊對稱解 ( n , m ) = ( 2020, 2019 )
總結以上,僅有2組解.
