\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}+\frac{1}{4}\)，求\(a_9,a_{99},a_{999}\)？
請問一般項？

A1=1帶可得：A2=9/4，A3=4=16/4，A4=25/4
以此推斷AN=(N+1)^2/4
可用代入推出，此樹成立
所以A9=100/4=25
A99=10000/4=2500
A999=1000000/4=250000
另解：
不難發現AN+1=(根號AN+1/2)^2
A1=K^2，所以AN+1=(K+1/2)^2

謝謝

令 bn=根號(an) >=0
則 b(n+1)^2=bn^2+bn+1/4=(bn+1/2)^2 , => b(n+1)= bn+1/2 ,
bn 為首項 1 , 公差 1/2 的數列
因此 bn=(n+1)/2  ,  an=bn^2=(n+1)^2/4

以前的高中數學101，
第十四回數列級數(三)範例2可以參考看看