如圖中第三題

指數化簡.jpg (351.59 KB)

2019-10-9 02:39

題目給了關係式要化簡後面的分式，我試了幾個方法化簡後還是很亂，因此上來求教，感謝大家！

\(\begin{align}
  & \sqrt{x}\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)=3\sqrt{y}\left( \sqrt{x}+5\sqrt{y} \right) \\
& x+\sqrt{xy}=3\sqrt{xy}+15y \\
& x-15y=2\sqrt{xy} \\
& {{\left( x-15y \right)}^{2}}={{\left( 2\sqrt{xy} \right)}^{2}} \\
& {{x}^{2}}-34xy+225{{y}^{2}}=0 \\
& x=25y\ or\ 9y \\
\end{align}\)
\(x=9y\)不合

感謝鋼琴老師~其中一步平方後可因式分解，但我那時後直覺做了配方因此弄得更複雜

令 \(a=\sqrt{x}\)，\(b=\sqrt{y}\)，

則 \(a\left(a+b\right)=3b\left(a+5b\right)\)

\(\Rightarrow a^2-2ab-15b^2=0\)

\(\Rightarrow \left(a-5b\right)\left(a+3b\right)=0\)

\(\Rightarrow a=5b\) 或 \(a=-3b\) (不合)。

所求 \(\displaystyle=\frac{2a^2+ab+3b^2}{a^2+ab-b^2}=2\)。