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四個變數兩個條件求答

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四個變數兩個條件求答

設a+b+c+d=0且a^3+b^3+c^3+d^3=5,求abc+abd+acd+bcd=?
我是令d=0原題變成a+b+c=0且a^3+b^3+c^3=5,求abc=?
由a+b= - c兩邊3次方 可得 a^3+3ab(a+b)+b^3=(- c) ^3
因此a^3+b^3+c^3=-3ab(a+b)=5
但a+b=-c 因此 3abc=5 所以abc=5/3
這是特殊化的結果,有沒有標準作答, 請指教

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回復 1# lungxo 的帖子

\(\begin{align}
  & a+b=-\left( c+d \right) \\
&  \\
& {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}+{{d}^{3}} \\
& ={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)+{{\left( c+d \right)}^{3}}-3cd\left( c+d \right) \\
& =3ab\left( c+d \right)-3cd\left( c+d \right) \\
& =3\left( c+d \right)\left( ab-cd \right) \\
& =3\left[ abc+abd-cd\left( c+d \right) \right] \\
& =3\left[ abc+abd+cd\left( a+b \right) \right] \\
& =3\left( abc+abd+acd+bcd \right) \\
&  \\
& abc+abd+acd+bcd=\frac{5}{3} \\
\end{align}\)

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