第 6 題
\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和為1987，求\(3m+4n\)的最大值。
[解答]
95 建中和 101 台中女中考過

設 a_1 + a_2 + ...... + a_n + b_1 + b_2 + ...... + b_m = 1987
a_1 + a_2 + ...... + a_n ≧ 1 + 3 + ...... + (2n - 1) = n^2
b_1 + b_2 + ...... + b_m ≧ 2 + 4 + ...... + 2m = m^2 + m
m^2 + m + n^2 ≦ 1987
(m + 0.5)^2 + n^2 ≦ 1987.25
3m + 4n = 3(m + 0.5) + 4n - 1.5
再利用柯西不等式可求出 3m + 4n 之最大值 = 221


檢驗一下
依題意，n 必為奇數

(1) 1 + 3 + ...... + 87 ＜ 1987 ＜ 1 + 3 + ...... + 89
n 的最大可能值是 43，此時 m 非整數，不合

(2) n = 41，m = 19
但 2 + 4 + ...... + 38 ＞ 1987 - (1 + 3 + ...... + 81)
故此組解不合

(3) n = 35，m = 27
1 + 3 + 5 + ...... + 69 = 1225
(2 + 4 + 6 + ...... + 52) + 60 = 762
1225 + 762 = 1987

113.10.25補充
\(m\)個相異正偶數與\(n\)個相異正奇數總和1971，求\(3m+4n\)最大值。
https://math.pro/db/thread-2415-1-1.html

設有\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)個互不相同的正奇數之和為2012，則\(5m+12n\)的最大值為　　　。
(101台中女中，cplee8tcfsh解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=2#pid5463)

若將\(m\)個互不相同的正偶數和\(n\)互不相同的正奇數全部相加，得總和為2025，所有滿足上述的自然數\(m\)、\(n\)中，\(3m+4n\)的最大值為　　　。
(110台中女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3515&page=1#pid22795)

鋼琴老師，第10題照老師的提示還是寫不下去，
是否可請老師教我更清楚的過程，謝謝。

還有第11題，謝謝。

第10題根據鋼琴師的提示後,221/60

用特殊角猜答案的(也想知道到底是怎麼正確做出來的)

第11題
矩陣\(A=\left[\matrix{cos\theta&sin\theta \cr sin\theta&-cos\theta} \right]\)，求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{100}A^n\)。
[解答]
請參考
\(A=\left[\matrix{cos\theta & sin\theta\cr sin\theta&-cos\theta}\right]\)，
\(A^2=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)，
\(A^3=\left[\matrix{cos\theta& sin\theta\cr sin\theta&-cos\theta}\right]\)，
\(A^4=\left[\matrix{1&0\cr 0&1}\right]\)
所求\(=25(A+A^2+A^3+A^4)=25\left[\matrix{2+2cos\theta&2sin\theta \cr 2sin\theta&2-2cos\theta}\right]\)

110.5.5
我的教甄準備之路　矩陣\(n\)次方https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid14875

謝謝老師的第11題，真的很簡單耶！
我當下是用等比級數公式，但是det(A-I)=0，就卡…
謝謝。

第 10 題
後面用湊的
[5，12] = 60，221 = 13 * 17
所以知道是 5、12、13 的三角形

不湊的話，一定會碰到手算很難解的四次方程

感謝鋼琴老師。

第10題後面，令 t = sin theta + cos theta，則

sin theta * cos theta = (t^2-1)/2，

可以解 t = (221/60) * (t^2-1)/2，得 t = 17/13 或 -13/17

因為 x 與 x/sqrt(x^2-1) 同號，且兩者之和為正數，

所以 x 與 x/sqrt(x^2-1) 同為正數， sin theta 與 cos theta 皆為正，

得 t 為正數，即 sin theta + cos theta = 17/13,

進而得 sin theta * cos theta = 169/60

再得 (sin theta - cos theta)^2 = 1 - 2 sin theta * cos theta = 49/169

→ sin theta - cos theta = 正負 7/13

與 sin theta + cos theta = 17/13 一起解聯立方程式，

可得 cos theta ，進而得 sec theta。

感謝瑋岳老師。

謝謝 thepiano 老師。

老師們好，想請教第二題。
有看出一點規律但寫不出來。

設數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足\(a_0=10\)，\(\displaystyle a_n=\frac{10a_{n-1}-77}{a_{n-1}-8}\)，\(n=1,2,3,\ldots\)，求\(a_n\)的一般項為　　　。