想請教12.13.14

第 12 題
設\(a,b,c\)為正數，若\(\cases{a^3=abc-5 \cr b^3=abc+2 \cr c^3=abc+21}\)，則\(abc=\)　　　。
[解答]
令 abc = x
(x - 5)(x + 2)(x + 21) = x^3
......

14.
已知\(-1\le x\le 1\)，\(y=\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1+x}}}+\sqrt{4+\sqrt{3+\sqrt{1-x}}}\)，求\(y\)的最大值　　　。
[解答]
利用\((a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)\)
\(y^2 \leq2(8+\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})=16+2(\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})\)

又因為\((\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})^2\leq12+2(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\)

且\((\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2\leq4 \to \sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\leq 2\)

所以回推回去\(\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}}\leq 4\)
\(y^2\leq16+2(\sqrt{3+\sqrt{1+x}}+\sqrt{3+\sqrt{1-x}})=16+8=24\)

\(y\leq 2\sqrt{6}\)

第 13 題
求所有的正整數\(x,y\)，使得\(6^x+2^y+2\)為完全平方數，則數對\((x,y)=\)　　　。
[解答]
6^x + 2^y + 2
= 2[3^x * 2^(x - 1) + 2^(y - 1) + 1]

當 x，y ≧ 2
3^x * 2^(x - 1) + 2^(y - 1) + 1 為奇數
6^x + 2^y + 2 非完全平方數

x = 1
6^x + 2^y + 2 = 2^y + 8 是完全平方數，y = 3

y = 1
6^x + 2^y + 2 = 6^x + 4 是完全平方數，無解

感謝~終於懂了

感謝~猜到\(x=0\)會有極值 , 卻想不到怎麼證明 , 終於懂了