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107台中一中段考題

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107台中一中段考題

設\(n\)為自然數,\(\displaystyle S_n=\frac{1 \cdot 2^1}{2 \cdot 3}+\frac{2 \cdot 2^2}{3 \cdot 4}+\frac{3 \cdot 2^3}{4 \cdot 5}+\ldots+\frac{n \cdot 2^n}{(n+1)\cdot (n+2)}\),\(T_n=2+2^2+2^3+\ldots+2^n\),試求滿足\(|\;(n+2)S_n-T_n|\;>86\)之最小自然數\(n=\)   

答案是87,求計算過程,主要問題是在Sn的通項。

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利用 bugmerns 老師筆記裡所傳授的 "裂項相消" 技巧,考慮一般項

(n-1)* 2ⁿ⁻¹ / n*(n+1) = 2ⁿ /(n+1) - 2ⁿ⁻¹ /n

相加對消後得

Sn = 2ⁿ⁺¹ /(n+2) - 1

|(n+2)*Sn - Tn| = |-n| = n

所求 = 87

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