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數學歸納法

數學歸納法

竹園岡便利商店現推出飲料最低1元的活動,只要購買飲料,就可以抽獎。抽獎箱中有相同大小的紅珠子及白珠子若干個,若抽中紅珠子,則只要付1元就可帶走所購買飲料;若抽中白珠子,則需照原價付費。
(1)今便利商店中有三個外觀一模一樣的抽獎箱,每個箱中都有20個珠子,但紅珠子分別是1個、2個、3個。參加活動的顧客先任選一個箱子(每個箱子被選中的機率都相同),再從箱子抽一個珠子(抽完後將珠子放回原箱子)。今甲、乙兩人參加此項活動,兩人抽獎的結果互不影響,若均抽中紅珠子,則甲、乙兩人的紅珠子是抽自同一個箱子的機率為何?   
(2)某天營業結束後,店長決定更改活動規則,只留下一個抽獎箱,裡面先放1個紅珠子和2個白珠子。參加活動的每一個顧客,無論他抽到什麼顏色的珠子,就再多放3個同色的珠子到抽獎箱中。
比如說若第一個顧客抽到白珠子,則第二個顧客要抽獎時,箱中共有1個紅珠子和5個白珠子。店長要店員先試算隔天每位參加活動的顧客的中獎機率:若以\(P(n)\)表示隔天第\(n\)個參加活動的顧客的中獎機率,則\(P(n)=\)?   
(3)承(2),\(P(n)=?\)   。請證明你(妳)的答案。

請教第三題如何用數學歸納法證明?還有是否可以不透過數歸直接寫出機率必定是?1/3

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2019-1-28 21:22

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我想回答樓主這個提問: 第三小題是否可以不透過數歸,直接寫出機率必定是 1/3 ?

其實這個答案不難用直觀得到: 依據題目規則,初始機率會一直維持下去。或者可以這樣思考:

設想題目的白珠子其實還分為 "亮白" 與 "米白",那麼題目中,"紅珠子","亮白珠子", 與 "米白珠子" 三者是平等的。則任一顧客抽到紅珠子的機率 (即中獎機率) 必然是 1/3。


[ 本帖最後由 cefepime 於 2019-1-28 23:05 編輯 ]

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回復cefepime

上題在n越來越大時衍生出的情況越多種,那白珠可要分成多種討論,小弟仍無法理解1/3

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回復 3# Exponential 的帖

Mmm... 其實這題也不用什麼計算。既然 "新增珠子的機率分布" 一直保持與初始情形相同 (紅 : 白 = 1 : 2),那麼無論是第幾個顧客,中獎機率皆為 1/3。

或者就以 2# 所舉的例子,創造一個新的題目: 一開始在箱中有 "紅珠子","亮白珠子", 與 "米白珠子" 各一顆,其他規則皆同。對於每一次抽獎,與原題 (同一次抽獎) 比較,紅珠子所占比例的期望值顯然是一樣的,所以中獎機率也相同。依據對稱性,這個機率自然是 1/3。

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如何用數學歸納法證明

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