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空間向量的題目
Exponential
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發表於 2019-1-16 15:05
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空間向量的題目
10.
a
,
b
,
c
是空間的三個單位向量,對於任意單位向量
d
,恆使
(
a
d
)
2
+
(
b
d
)
2
+
(
c
d
)
2
之值為定值
k
(1)試求
k
之值
(2)若
p
=
a
+
2
b
+
3
c
,則
(
a
p
)
2
+
(
b
p
)
2
+
(
c
p
)
2
之值為
請教第10題是否有什麼特別的定理可以佐證此結論?
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發表於 2019-1-16 20:36
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第 10 題
這裡的單位向量 a,b,c 並非任意的 (取三者相等,或"幾乎相等" 即知),而是須滿足某條件,即:
向量 a,b,c 兩兩垂直
則易知 (或用方向餘弦的觀念): k =1
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發表於 2019-1-16 20:43
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回復cemepime
所以只有三者相互垂直才會產生定值嗎?
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發表於 2019-1-16 21:02
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回復 3# Exponential 的帖子
以下是我的推理過程,您看看有沒有錯:
令 a,b,c 為符合題意的三個單位向量,考慮與 a,b 皆垂直的單位向量 d,則
k ≤ 1
再考慮 d = c,則
k ≥ 1
⇒ k = 1,且 c 與 a,b 皆垂直
⇒ 向量 a,b,c 兩兩垂直
易知 (或由方向餘弦的觀念) 此情形滿足題目要求。
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發表於 2019-1-16 21:15
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為何d=c會是k大於?1
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發表於 2019-1-16 21:40
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回復 5# Exponential 的帖子
d = c 時,d 與 c 的內積 = 1,而另兩項平方和 ≥ 0
故 k ≥ 1
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