10.
\(\vec{a}\),\(\vec{b}\),\(\vec{c}\)是空間的三個單位向量，對於任意單位向量\(\vec{d}\)，恆使\((\vec{a}\cdot \vec{d})^2+(\vec{b}\cdot \vec{d})^2+(\vec{c}\cdot \vec{d})^2\)之值為定值\(k\)
(1)試求\(k\)之值　　　
(2)若\(\vec{p}=\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}\)，則\((\vec{a}\cdot \vec{p})^2+(\vec{b}\cdot \vec{p})^2+(\vec{c}\cdot \vec{p})^2\)之值為　　　

請教第10題是否有什麼特別的定理可以佐證此結論？

第 10 題

這裡的單位向量 a，b，c 並非任意的 (取三者相等，或"幾乎相等" 即知)，而是須滿足某條件，即:

向量 a，b，c 兩兩垂直

則易知 (或用方向餘弦的觀念):  k =1

所以只有三者相互垂直才會產生定值嗎？

回復 3# Exponential 的帖子

以下是我的推理過程，您看看有沒有錯:

令 a，b，c 為符合題意的三個單位向量，考慮與 a，b 皆垂直的單位向量 d，則

k ≤ 1

再考慮 d = c，則

k ≥ 1

⇒ k = 1，且 c 與 a，b 皆垂直

⇒ 向量 a，b，c 兩兩垂直

易知 (或由方向餘弦的觀念) 此情形滿足題目要求。

為何d=c會是k大於？1

回復 5# Exponential 的帖子

d = c 時，d 與 c 的內積 = 1，而另兩項平方和 ≥ 0

故 k ≥ 1