13.
若實數xyz滿足x2010+y2013+z2016=1x2011+y2014+z2017=1x2012+y2015+z2018=1，則x+y+z=？

14.
有多少個各項係數為2018或−2018，且根全為實數的多項式？

兩題多項式問題麻煩大家集思廣益
謝謝
連結已失效h ttp://web.kshs.kh.edu.tw/math/exam/kshs/kshstest/107PDF/107_1_2_1.pdf

1.
設 (xyz) 為原方程式的一組解，
考慮以 a 為未知數的方程式 xa+ya+3+za+6=1
則 a=201020112012 均滿足上式。

整理成多項式方程式的形式
xa+ya+3+za+6=1
x(a2+9a+18)+y(a2+6a)+z(a2+3a)=a3+9a2+18a
a3+(9−x−y−z)a2+(18−9x−6y−3z)a−18x=0

依然有 a=201020112012 均滿足上式。

故 a3+(9−x−y−z)a2+(18−9x−6y−3z)a−18x=0 之三根為 a=201020112012

由根與係數關係可得 2010+2011+2012=x+y+z−9x+y+z=6042

設 f(x) 滿足題意的 n 次多項式，其中 nN

令 ak, k=1n 為 f(x)=0 之解

由根與係數關係有 nk=1ak  =  1ni=1i−1j=1aiaj  =  1nk=1ak  =  1

nk=1a2k=  nk=1ak2−2ni=1i−1j=1aiaj  =12=  −1or3 ，負不合(均實根)，故 nk=1a2k=3

另一方面，由算幾不等式有
nk=1a2k  nnnk=1a2k=n 

故 n3

以下依 n 的值討論
(1) n=1 時，係數 2018 均可
(2) n=2 時，f(x)=2018(x2x−1)，兩組正負可任意搭
(3) n=3 時，算幾不等式中等號成式，故 a21=a22=a23=1

f(x)=2018(x−1)(x+1)(x1) (其餘可檢查不合)

補充一下：這兩題是 107-1 雄中高一第二次段考考題，填充題最後兩題