第1題
1.
設 \( (x,y,z) \) 為原方程式的一組解,
考慮以 \( a \) 為未知數的方程式 \( \frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 3}} + \frac{z}{{a + 6}} = 1\)
則 \( a=2010, 2011, 2012 \) 均滿足上式。
整理成多項式方程式的形式
\( \frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 3}} + \frac{z}{{a + 6}} = 1 \)
\( \Rightarrow x({a^2} + 9a + 18) + y({a^2} + 6a) + z({a^2} + 3a) = {a^3} + 9{a^2} + 18a \)
\( \Rightarrow {a^3} + (9 - x - y - z){a^2} + (18 - 9x - 6y - 3z)a - 18x = 0 \)
依然有 \( a=2010, 2011, 2012 \) 均滿足上式。
故 \( {a^3} + (9 - x - y - z){a^2} + (18 - 9x - 6y - 3z)a - 18x = 0 \) 之三根為 \( a=2010,2011,2012 \)
由根與係數關係可得 \( 2010+2011+2012 = x + y + z - 9 \Rightarrow x + y + z = 6042 \)
[ 本帖最後由 tsusy 於 2018-12-3 11:23 編輯 ]