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三角連乘公式證明

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三角連乘公式證明

1.sink(pi)/(2n+1)pi的連乘積? 2.cos的連乘積

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2018-10-6 15:59

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有人可以提供證明嗎?

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回復 2# Exponential 的帖子

回其中一個,應該都差不多
\( \displaystyle \prod\limits_{k = 1}^{n-1} {\sin (\frac{{k\pi }}{n})} \)
令\(\displaystyle \omega  = \cos \frac{{2\pi }}{{n}} + i\sin \frac{{2\pi }}{{n}}\),\( {x^{n}} - 1 = (x - 1)(1 + x + {x^2} + ...+{x^{n - 1}}) = (x - 1)(x - \omega )(x - {\omega ^2})...(x - {\omega ^{n-1}}) \)
\(1 + x + {x^2} + ...+{x^{n - 1}}=(x - \omega )(x - {\omega ^2})...(x - {\omega ^{n-1}})\)
代入\(x=1\),\(n = (1 - \omega )(1 - {\omega ^2})...(1 - {\omega ^{n - 1}})\)
\( \displaystyle 1 - {\omega ^k} = 1 - (\cos \frac{{2k\pi }}{{n}} + i\sin \frac{{2k\pi }}{{n}} )= 2\sin \frac{{k\pi }}{{n}}(\sin \frac{{k\pi }}{{n}} + i\cos \frac{{k\pi }}{{n}}) \),\( \displaystyle \left| {1 - {\omega ^k}} \right| = 2\sin \frac{{k\pi }}{{n}}\)
\(\displaystyle n = \left| {1 - \omega } \right|\left| {1 - {\omega ^2}} \right|...\left| {1 - {\omega ^{n - 1}}} \right| = {2^{n - 1}}\prod\limits_{k = 1}^{n-1} {\sin (\frac{{k\pi }}{n})} \),\( \displaystyle \prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {\sin (\frac{{k\pi }}{n})}  = \frac{n}{{{2^{n - 1}}}}\)

話說這個有什麼比較好的背法嗎,學生看到我寫這個腦袋只會一片空白,我自己也沒有背過這個
順代一提,\(cos\)應該是代\(x=-1\)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2018-12-10 01:04 編輯 ]

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回復 3# BambooLotus 的帖子

個人淺見
稱不上什麼比較好的想法

整段推導最麻煩的地方應該是在第三行最後面
1-w^k絕對值的結果
我自己推導的過程都直接把這段當成一個小小結論應用
(推過幾次覺得頗麻煩 乾脆直接記)
這個結論記得 其實整段證明就不難了
整個脈絡也很合理

當然要快的話還是只能把最終結論背下來ORZ

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回復 4# satsuki931000 的帖子

可以把複數拉到複數平面上,兩複數相減的絕對值為兩點之間的距離

再利圓周角,計算弦長
文不成,武不就

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