2018.06.30 筆試

6.
\(x,y \in C\)，試解聯立方程式\( \cases{x+y=5 \cr x^4+y^4=97} \)。
(99高雄市高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=975&page=3#pid3447)

7.
若\(L_1\)與\(L_2\)為拋物線上\(\Gamma\)上兩條互相垂直的切線，其交點為\(P\)。試證明：\(P\)點一定落再拋物線\(\Gamma\)的準線上。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1789&page=1#pid9519

第三題應該是：
\(tanA+tanB+tanC=tanA \cdot tanB \cdot tanC\)

4.
\(I\)為等腰三角形\(ABC\)的內心\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(\overline{ID}\bot \overline{BC}\)、\(\overline{IE}\bot \overline{AC}\)、\(\overline{IF}\bot \overline{AB}\)。若\(\Delta AFE\)的面積等於\(\Delta FBD\)與\(\Delta EDC\)的面積和，求\(\displaystyle \frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}=\)？

想請教第四題，謝謝！

第 4 題
\(\begin{align}
  & \overline{AF}=x,\overline{BF}=1 \\
& \Delta AFG=\Delta FBD=a \\
& \frac{\Delta AFG}{\Delta DFG}=\frac{\overline{AG}}{\overline{DG}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}=x \\
& \Delta DFG=\frac{a}{x} \\
& \frac{\Delta AFD}{\Delta BFD}=\frac{\overline{AF}}{\overline{BF}} \\
& \frac{a+\frac{a}{x}}{a}=\frac{x}{1} \\
& 1+\frac{1}{x}=x \\
& \frac{\overline{AF}}{\overline{BF}}\text{=}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\
\end{align}\)

謝謝 thepiano老師！