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方程式\((4x+1)(6x+1)(8x+1)(24x+1)=21\)之實數解為　　　。
[解答]
\( \displaystyle (4x+1)(6x+1)(8x+1)(24x+1)=21 \)
\( \displaystyle (48x^2+14x+1)(96x^2+28x+1)=21 \)
令 \( \displaystyle A=48x^2+14x \)
\( \displaystyle (A+1)(2A+1)=21 \)

線性變換前後面積的關係
這個問題之前在複試的時候被後面的教授也問過，但一直沒有比較好的說法，
所以想請教各位老師：
(1)請問除了直接證明之外，如何舉例讓學生對於這個定理能有較直觀的感覺？
(2)若改任意圖形，公式也對嗎？如何說明？

請問第六題和第9題，謝謝^^

9.
已知\(n\)為正整數，且\(f(n)=1^n+2^{n-1}+3^{n-2}+\ldots+(n-1)^2+n\)，則\(\displaystyle \frac{f(n+1)}{f(n)}\)的最小值為　　　。

6.
在\(\Delta ABC\)中，已知\(M\)為\(\overline{BC}\)的中點，點\(P\)、\(Q\)分別在\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)上，且\(\overline{AP}=4\)，\(\overline{PB}=3\)，\(\overline{AQ}=2\)，\(\overline{QC}=1\)，\(∠PMQ=90^{\circ}\)，則\(cosA\)的值為　　　。

請教7跟8題
謝謝

第 7 題
設\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)為平面上兩個非零向量，且\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)的夾角為\(60^{\circ}\)，令\(\displaystyle r=\frac{|\;\vec{a}+2\vec{b}|\;}{|\;2\vec{a}+\vec{b}|\;}\)，試求\(r\)的範圍為　　　。
參考附圖

第 8 題
試求\(\displaystyle sin \frac{\pi}{25}\cdot sin \frac{2\pi}{25}\cdot sin \frac{3\pi}{25}\ldots sin \frac{12\pi}{25}\)之值為　　　。

\(\sin \frac{\pi }{2n+1}\times \sin \frac{2\pi }{2n+1}\times \sin \frac{3\pi }{2n+1}\times \cdots \times \sin \frac{n\pi }{2n+1}=\frac{\sqrt{2n+1}}{{{2}^{n}}}\)

請問第一題的-1756是怎麼得到的?

兩實兩虛