05.用4種顏色塗九宮格，顏色可重複使用，相鄰不同色，每區只能塗一色，有幾種塗法？

D C E            A  B     C D E   C D E  *
B A B   :        4 * 3 * (1*3*3 + 2*2*2)^2=3468
*  *  *

E D F            A  B  C      D E F   D E F  *
B A C           4 * 3 * 2 * (1*2*2 + 2*3*2)^2=6144        3468+6144=9612
*  *  *

試題pdf整理，若有錯誤請不吝指教。

感謝老師的無私奉獻! 辛苦了

想請問計算4
沒什麼想法...

計算4

\(E(\frac{1}{X+1})=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}C^n_{k}p^k(1-p)^{1-k}\)

其中\(\displaystyle\frac{1}{k+1}C^n_{k}=\frac{1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times n!}=\frac{n+1}{k+1}\times\frac{n!}{(n-k)!\times k!\times(n+1)}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!\times(n-k)!}\times\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}\)

所以\(\displaystyle E(\frac{1}{X+1})=\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+1}C^{n+1}_{k+1}p^k(1-p)^{n-k}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}\)

設\(t=k+1\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{k+1}p^{k+1}(1-p)^{n-k}=\sum_{t=1}^{n+1}\frac{1}{(n+1)p}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}=\frac{1}{(n+1)p}\times(\sum_{t=0}^{n+1}C^{n+1}_{t}p^{t}(1-p)^{n-t+1}-(1-p)^{n+1})\)
\(\displaystyle=\frac{1}{p(n+1)}\times((p+1-p)^{n+1}-(1-p)^{n+1})=\frac{1-(1-p)^{n+1}}{p(n+1)}\)

[ 本帖最後由 zidanesquall 於 2018-4-15 22:02 編輯 ]

計算4  令 q=1-p  ,p+q=1
E(1/(X+1) ) = SUM( 1/(k+1) * C( n,k) * p^k * q^(n-k)  ,  k=0..n )
=1/[(n+1)p] * SUM(  C( n+1,k+1) * p^(k+1) * q^(n-k)  ,  k=0..n )
=1/[(n+1)p] * [ (p+q)^(n+1)- C( n+1,0) * p^0 * q^(n+1)]
= [ 1- (1-p)^(n+1)] / [(n+1)p]

計算第 3 題第 (2) 小題
把\(x+y=\sqrt{2}\)視為新的\(x\)軸，\(y=x\)視為新的\(y\)軸
圓\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2\)，變為\({{x}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=2\)
所求\(=\int_{-1}^{1}{\pi {{y}^{2}}dx=}\pi \int_{-1}^{1}{{{\left( \sqrt{2-{{x}^{2}}}-1 \right)}^{2}}dx=}\frac{10}{3}\pi -{{\pi }^{2}}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-4-15 23:18 編輯 ]

一. 8  設P0(X0,Y0)=(1,0) , Pi(Xi,Yi) i=0..6 為圓心在原點,半徑1的圓周上七個等分點 , Xi+iYi=w^i
          SUM ( Xi , i=0..6 )=0 (七個半徑向量和為0向量)
則所求=SUM ( (2-Xi)^2+(0-Yi)^2 , i=1..6 )
           =SUM ( 4+1-4Xi , i=1..6 )
           =5*6-4*SUM ( Xi , i=1..6 )
           =30 - 4*(0-X0)
           =34

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-4-16 12:25 編輯 ]

很抱歉，小弟發現第五題的答案與大家不一樣，請問各位高手。
我算出來是2904

先塗 D、E、F 是 4 * 3 * 3
後續討論時還要分，D、F 同色和 D、F 不同色