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重複組合之有上限問題

重複組合之有上限問題

想請教各位前輩,當重複組合問題遇到有上限的時候改怎麼辦呢?
例題1:
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10
且x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均為介於0~9之整數
答案:996
這題是先做H⁵₁₀-5,因為有五種不合的情況

例題2
x₁+x₂+x₃+x₄=16
且x₁、x₂、x₃、x₄均為介於0~5之整數
答案:35
這題則先做H⁴₁₆- C⁴₁  x  H⁴₁₀ + C⁴₂  x  H⁴₄=35
先算全部做法--其中一個先拿6個+其中2個先拿6+6共12個

例題3
x₁+x₂+x₃+x₄=16,滿足x₁≦4,x₂≦4,x₃≦5,x₄≦6之正整數解有幾組?
答案:20
這題我就不知道怎麼算比較好~~

再請益,這類問題有固定做法嗎
或者是說當總和更高時該怎麼辦?

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回復 1# kggj5220 的帖子

例題1 → 如例題1及例題2你寫的方法。其實就是排容原理。

例題2

x1+x2+x3+x4=165x1+5x2+5x3+5x4=4 

y1=5x1y2=5x2y3=5x3y4=5x4

則原題目等同於

y1+y2+y3+y4=4 的非負整數解有多少組,其中 y1y2y3y4 均為介於 0 ~ 5之整數

所以答案就是 H44=35


例題3,原理同上, x1+x2+x3+x4=164x1+4x2+5x3+6x4=3 

所以答案就是 H34=20


教到這部分,我喜歡問學生: "四顆骰子放在桌面上,已知桌面上看去四顆點數和為 20,那這四顆骰子與桌面相貼在一起的那四面,點數和又是多少?" 並提示學生,骰子對面的兩個點數和為 7,也就是抽任一顆骰子來看看,都會發現 1 的對面是 62 的對面是 53 的對面是 4

多喝水。

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回復 2# weiye的帖子

感謝瑋岳大詳細解說~~


在思考過您的例子之後
就我的例題2我自己是這樣解釋
x1+x2+x3+x4=16,且每一個括號總和為5
所以有x1+y1=5x2+y2=5x3+y3=5x4+y4=5
這樣x、y會彼此限制,都不會超過5
因為x1+y1=5 y1=5x1
所以題意等同問 y1+y2+y3+y4=16,此時符合y15y25y35y45
(5x1)+(5x2)+(5x3)+(5x4)=16  x1+x2+x3+x4=4H44

不知這樣是否正確?

再來還有一個小疑惑,我的例題3是求正整數,這樣不會有影響嗎??


骰子問題是這樣的:令x1+x2+x3+x4=20
其中x1+y1=7x2+y2=7x3+y3=7x4+y4=7
(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=4x7
所以有y1+y2+y3+y4=8

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請問...怎麼都會自己置中..........

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顯示出來就是位在行內的數學式: x2


顯示出來就是單獨一行且置中的數學式:
x2


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例題3:

1x1404x13

1x2404x23

1x3505x34

1x4606x45

然而 4x1+4x2+5x3+6x4=3 

所以 4x14x25x36x4  都不會超過三,

因此不會有影響。


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例題2:你回覆的數學式子地方,有打字上的小錯誤, 第一個方程式多打 y1y4 了。

多喝水。

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回復 3# weiye的帖子

終於懂了~感謝老師不吝指教!!

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回復 1# kggj5220 的帖子

先當做4個箱子都放滿共4+4+5+6=19 球, 再在4個箱子取出3 球=H(4,3) 即可

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回復 7# laylay 的帖子

感謝laylay老師的妙招~這後來我有思考過
但這方法不適用在我的例題一,因為H(5,35)會發生取球取到變負的~我想我之前應該就是在這轉換之間打結的

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