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» 重複組合之有上限問題
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重複組合之有上限問題
kggj5220
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發表於 2018-4-3 21:46
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重複組合之有上限問題
想請教各位前輩,當重複組合問題遇到有上限的時候改怎麼辦呢?
例題1:
x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10
且x₁、x₂、x₃、x₄、x₅均為介於0~9之整數
答案:996
這題是先做H⁵₁₀-5,因為有五種不合的情況
例題2
x₁+x₂+x₃+x₄=16
且x₁、x₂、x₃、x₄均為介於0~5之整數
答案:35
這題則先做H⁴₁₆- C⁴₁ x H⁴₁₀ + C⁴₂ x H⁴₄=35
先算全部做法--其中一個先拿6個+其中2個先拿6+6共12個
例題3
x₁+x₂+x₃+x₄=16,滿足x₁≦4,x₂≦4,x₃≦5,x₄≦6之正整數解有幾組?
答案:20
這題我就不知道怎麼算比較好~~
再請益,這類問題有固定做法嗎
或者是說當總和更高時該怎麼辦?
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weiye
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發表於 2018-4-3 23:08
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回復 1# kggj5220 的帖子
例題1 → 如例題1及例題2你寫的方法。其實就是排容原理。
例題2
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
1
6
5
−
x
1
+
5
−
x
2
+
5
−
x
3
+
5
−
x
4
=
4
令
y
1
=
5
−
x
1
,
y
2
=
5
−
x
2
,
y
3
=
5
−
x
3
,
y
4
=
5
−
x
4
則原題目等同於
求
y
1
+
y
2
+
y
3
+
y
4
=
4
的非負整數解有多少組,其中
y
1
y
2
y
3
y
4
均為介於
0
~
5
之整數
所以答案就是
H
4
4
=
3
5
例題3,原理同上,
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
1
6
4
−
x
1
+
4
−
x
2
+
5
−
x
3
+
6
−
x
4
=
3
所以答案就是
H
3
4
=
2
0
教到這部分,我喜歡問學生: "四顆骰子放在桌面上,已知桌面上看去四顆點數和為
20
,那這四顆骰子與桌面相貼在一起的那四面,點數和又是多少?" 並提示學生,骰子對面的兩個點數和為
7
,也就是抽任一顆骰子來看看,都會發現
1
的對面是
6
,
2
的對面是
5
,
3
的對面是
4
。
多喝水。
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發表於 2018-4-4 21:10
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回復 2# weiye的帖子
感謝瑋岳大詳細解說~~
在思考過您的例子之後
就我的例題2我自己是這樣解釋
令
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
1
6
,且每一個括號總和為5
所以有
x
1
+
y
1
=
5
、
x
2
+
y
2
=
5
、
x
3
+
y
3
=
5
、
x
4
+
y
4
=
5
這樣x、y會彼此限制,都不會超過5
因為
x
1
+
y
1
=
5
y
1
=
5
−
x
1
所以題意等同問
y
1
+
y
2
+
y
3
+
y
4
=
1
6
,此時符合
y
1
5
、
y
2
5
、
y
3
5
、
y
4
5
即
(5
−
x
1
)
+
(
5
−
x
2
)
+
(
5
−
x
3
)
+
(
5
−
x
4
)
=
1
6
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
4
即
H
4
4
不知這樣是否正確?
再來還有一個小疑惑,我的例題3是求正整數,這樣不會有影響嗎??
骰子問題是這樣的:令
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
=
2
0
其中
x
1
+
y
1
=
7
、
x
2
+
y
2
=
7
、
x
3
+
y
3
=
7
、
x
4
+
y
4
=
7
(
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
+
(
y
1
+
y
2
+
y
3
+
y
4
)
=
4
x
7
所以有
y
1
+
y
2
+
y
3
+
y
4
=
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發表於 2018-4-4 21:14
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請問...怎麼都會自己置中..........
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顯示出來就是位在行內的數學式:
x
2
a2.png
(2.21 KB)
2018-4-4 22:13
顯示出來就是單獨一行且置中的數學式:
x
2
----------------------------------------------------------------
例題3:
1
x
1
4
0
4
−
x
1
3
1
x
2
4
0
4
−
x
2
3
1
x
3
5
0
5
−
x
3
4
1
x
4
6
0
6
−
x
4
5
然而
4
−
x
1
+
4
−
x
2
+
5
−
x
3
+
6
−
x
4
=
3
所以
4
−
x
1
4
−
x
2
5
−
x
3
6
−
x
4
都不會超過三,
因此不會有影響。
----------------------------------------------------------------
例題2:你回覆的數學式子地方,有打字上的小錯誤, 第一個方程式多打
y
1
到
y
4
了。
多喝水。
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發表於 2018-4-5 20:10
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終於懂了~感謝老師不吝指教!!
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發表於 2018-4-19 12:35
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回復 1# kggj5220 的帖子
先當做4個箱子都放滿共4+4+5+6=19 球, 再在4個箱子取出3 球=H(4,3) 即可
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發表於 2018-4-19 17:43
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回復 7# laylay 的帖子
感謝laylay老師的妙招~這後來我有思考過
但這方法不適用在我的例題一,因為H(5,35)會發生取球取到變負的~我想我之前應該就是在這轉換之間打結的
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