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105新北市國中聯招

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105新北市國中聯招

12.13.題別人問我解不出

12.
不大於50的正整數\(n\)中,有多少個正整數\(n\)使得\(2^n-n^2\)為7的倍數?
(A)20 (B)18 (C)16 (D)10

13.
某直角三角形的三邊形分別為\(a\)、\(b\)、\(c\),其中\(c\)為斜邊長。若\( \displaystyle \frac{a+b+c}{a+c}=\sqrt{2} \),且此三角形的面積為2,則此三角形的周長為多少?
(A)\(4+\sqrt{6}\) (B)\(4+2\sqrt{2}\) (C)\(4+2\sqrt{6}\) (D)\(5+3\sqrt{2}\)

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回復 1# nanpolend 的帖子

給你一個建議,把題目正拍比較快有答案,反拍看不懂,不要折磨別人脖子

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第12題:附註:==為除7的餘數
只看兩者餘數,相同的話就可以被7整除
但是2^1==2,2^2==4,2^3==1,三個一循環
n^2的餘數排列為1,4,2,2,4,1,0(只列1~7,後面只是一直循環)
接著就式排列它,因為共要21個才會一循環,這題技巧不多,只是窮舉而以

第13題:
令a=c*cosx,b=c*sinx
(a+b+c)/(a+c)=1+b/(a+c)=1+sinx/(1+cosx)=根號2
移項,再兩邊平方
sin^2 x/(cosx+1)^2=3-2根號2
把sin換掉可以得到cosx=根號2
所以c=根號8,a=b=2
答案為4+2根號2

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第13題   亦可:

法1:

[(a+c) + b]² = 2*(a+c)²

b² + 2b(a+c) = (a+c)²

(c² - a²) + 2b(a+c) = (a+c)²

(c-a) + 2b = a+c

a = b

(a, b, c) = (2, 2, 2√2)



法2:

b / (a+c) = √2 -1,取倒數改為:

(a+c) / b = 1+√2

[a+√(a²+b²)] / b = 1+√2,令 t = a/b

t+√(t²+1) = 1+√2

t = 1

(a, b, c) = (2, 2, 2√2)




法3:

b / (a+c) = √2 -1

tan (B/2) = √2 -1,在此 B 是 b 的對角

B = 45°

(a, b, c) = (2, 2, 2√2)



[ 本帖最後由 cefepime 於 2018-3-30 17:43 編輯 ]

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感謝各位解答太久沒有發問了

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