設\(a\)、\(b\)都是正有理數，且\(b \cong \sqrt{7}a\)，證明：\(\sqrt{7}\)必在\( \displaystyle \frac{a}{b} \)與\(\displaystyle \frac{b+7a}{a+b}\)之間，且\(\displaystyle \frac{b+7a}{a+b}\)更接近\(\sqrt{7}\)。

如圖，第二部分需要幫忙，也就是\(\displaystyle \frac{b+7a}{a+b}\)更接近\(\sqrt{7}\)
好像可以用連分數的角度去看，還請各位指教!!

\(\begin{align}
  & \frac{b}{a}-\frac{b+7a}{a+b} \\
& =\frac{\left( b+\sqrt{7}a \right)\left( b-\sqrt{7}a \right)}{a\left( a+b \right)} \\
& \left( 1 \right)\ b>\sqrt{7}a\quad ,\quad \frac{b}{a}>\frac{b+7a}{a+b} \\
& \left( \frac{b}{a}-\sqrt{7} \right)-\left( \sqrt{7}-\frac{b+7a}{a+b} \right) \\
& =\frac{b}{a}+\frac{b+7a}{a+b}-2\sqrt{7} \\
& =\frac{\left( 7-2\sqrt{7} \right){{a}^{2}}+\left( 2-2\sqrt{7} \right)ab+{{b}^{2}}}{a\left( a+b \right)} \\
& =\frac{\left( b-\sqrt{7}a \right)\left[ b+\left( 2-\sqrt{7} \right)a \right]}{a\left( a+b \right)} \\
& =\frac{{{\left( b-\sqrt{7}a \right)}^{2}}+2a\left( b-\sqrt{7}a \right)}{a\left( a+b \right)}>0 \\
& \frac{b}{a}-\sqrt{7}>\sqrt{7}-\frac{b+7a}{a+b} \\
& \left( 2 \right)\ b<\sqrt{7}a\quad ,\quad \frac{b}{a}<\frac{b+7a}{a+b} \\
& \cdots \cdots  \\
\end{align}\)
同理可證

謝謝老師

令b/a=a(n),則a(n+1)=(7+a(n))/1+a(n),因此<a(n)>是一個振盪逼近sqr(7)的數列
例如 取a(1)=2,則數列為{2,3,5/2,19/7,...}
問題是這個遞迴定義的數列是怎樣得到的。似乎不是連分數法,牛頓法
x^2=7
x^2+x=7+x,,因此得到,...好像有作弊的嫌疑。
想請教一下各位

利用不動點求一般式再取極限嗎？