如果方程式\( \displaystyle(1-q+\frac{p^2}{2})x^2 +(1+q)px+(q-1)q+\frac{p^2}{2}=0 \)有等根，試證明\(p^2=4q\)，請大大幫忙給個證明的方法，謝謝！

用歸謬證法，先設\({{p}^{2}}\ne 4q\)
判別式
\(\begin{align}
  & \left( 1+{{q}^{2}} \right){{p}^{2}}-4\left( 1-q+\frac{{{p}^{2}}}{2} \right)\left[ \left( q-1 \right)q+\frac{{{p}^{2}}}{2} \right] \\
& \ne 4q\left( 1+{{q}^{2}} \right)-4\left( 1-q+\frac{4q}{2} \right)\left[ \left( q-1 \right)q+\frac{4q}{2} \right] \\
\end{align}\)
而\(4q\left( 1+{{q}^{2}} \right)-4\left( 1-q+\frac{4q}{2} \right)\left[ \left( q-1 \right)q+\frac{4q}{2} \right]=0\)

謝謝大大，請問還有其他的證法嗎？