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一題最大值最小值的問題

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一題最大值最小值的問題

請問各位老師,若-1<x<3且-2<y<5則試問(x^2)+xy的最大值與最小值依高一生的程度如何分析得到?

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回復 1# a0608we 的帖子

沒等號,取不到最值

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回復 1# a0608we 的帖子

題目應該是少了四個等號
x^2<=9,xy<=15=>Max=9+15=24(此時x=3,y=5)
x^2+xy=(x+y/2)^2-y^2/4
當2<=y<=5 時1<=y/2<=2.5 而-1<=x<=3 , 有min 時 x=-1,原式=1-y,min=1-5=-4
當-2<=y<=2 時-1<=y/2<=1 而-1<=x<=3 , 有min 時 x=-y/2,原式=-y^2/4,min=-2^2/4=-1
故 min=-4 ,(此時x=-1,y=5)
若題目無誤則Max=24-, min=(-4)+ (-,+是上標)

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-9-10 06:45 編輯 ]

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XD,題目打錯了,的確不小心少打了四個等號,也謝謝laylay老師的回覆,
請問laylay老師,將x^2+xy化成(x+y/2)^2-y^2/4的思考邏輯是來自於???
而且討論時得將y值分成兩個case討論的理由是???
謝謝!!!

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回復 4# a0608we 的帖子

在不同的y區間中先固定y值就有不同的x 值對應情形能來得到x的二次函數之min,這是要分兩段探討的原因,有時你恐怕要分三段,各找出每段的min,才能得出全體的min

例如:  x: -7 ~ 6 , y: -3 ~ 4 求x^2+4xy+2y^2之min
解: 原式=2(y+x)^2-x^2
      當 x: -4 ~ 3 有min時 y=-x,原式=-x^2,min=-(-4)^2=-16
      當 x: -7 ~ -4 有min時 y=4,原式=(x+8)^2-32,min=(-7+8)^2-32=-31
      當 x: 3 ~ 6 有min時 y=-3,原式=(x-6)^2-18,min=(6-6)^2-18=-18
      故 min= -31 (此時x=-7,y=4)

也可以看成原式=|x-(-2y)|^2-2y^2  ,(-2y): -8 ~ 6        , |a-b|表在數線上a,b之距離
       當 -2y: -7 ~ 6 即 y: -3 ~ 3.5 有min時x=-2y,原式=-2y^2,min=-2(3.5)^2=-24.5
       當 -2y: -8 ~ -7 即 y: 3.5 ~ 4 有min時x=-7,原式=2(y-7)^2-49,min=2(4-7)^2-49=-31
       故 min=-31 (此時 x=-7,y=4)

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-9-11 10:19 編輯 ]

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