想請教第5題跟第8題，謝謝^_^

第 8 題
\(f(x)=a_1sinx+a_2sin2x+\ldots+a_n sinnx\)，\(a_i\in R,n\in N\)且\(|\;f(x)|\;\le |\;sinx|\;\)，\(\forall x\in R\)證明：\(|\;a_1+2a_2+\ldots+na_n|\;\le 1\)
[解答]
\(\left| {{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+\cdots +n{{a}_{n}} \right|=\left| f'\left( 0 \right) \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0} \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin x}{x} \right|=1\)

第5題
計算\(\displaystyle \int_0^1 \int_x^1 x^2\sqrt{1+y^4}dydx\)
[解答]
\(\displaystyle \int_0^1 {\int_x^1 {{x^2}\sqrt {1 + {y^4}} dydx}  = \int_0^1 {\int_0^y {{x^2}\sqrt {1 + {y^4}} dxdy} } }  = \int_0^1 {\left( {\frac{1}{3}{x^3}\sqrt {1 + {y^4}} \left| {_0^y} \right.} \right)dy} \)
\(\displaystyle = \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}\sqrt {1 + {y^4}} dy}  = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}{\left( {1 + {y^4}} \right)^{\frac{3}{2}}}\left| {_0^1} \right. = \frac{{\sqrt 2 }}{9} - \frac{1}{{18}} \)

第 6 題
已知函數\(f\)滿足\(f(0)=0,f'(0)=1\)，求\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}\)。某學生作法如下：
∵\(\displaystyle \frac{f(0)}{0}\)為\(\displaystyle \frac{0}{0}\)不定型，故依羅必達法可得
\(\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{1}=f'(0)=1\)
請問這樣的做法是否正確？若正確是否能有其他解法？若錯誤請舉一反例說明錯誤之處。
[解答]
反例：f(x) = sinx 時，不能用羅必達，會有循環論證的問題

請問老師 9, 10, 11.

第9題
某圍棋賽由實力相當的甲、乙、丙三棋手參加，規則如下：甲、乙先開始，然後敗者退出由丙遞補重新再下第二盤；接著敗者再退出，再由另一人遞補重新再賽。依此規則最後連勝2局者獲勝，試問最後甲獲勝的機率。
[解答]
令甲贏一場之後獲勝的機率為\( a \)，\(\displaystyle a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \times a + \frac{1}{2} \times 0} \right)} \right) \)
然後再去討論整個機率應該就可以了

第11題
試求所有實數\(x\)，使得\(\displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)。
[解答]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156

10.
一長方體內部對角線到三條與他不相交的稜之間的最短距離分別為\(\displaystyle 2\sqrt{5},\frac{30}{\sqrt{13}},\frac{15}{\sqrt{10}}\)，試求此長方體的體積。
[解答]
假設長方體三個不同方向的邊長分別為 \( a, b, c \)

計算三組歪斜距離可得 \(\displaystyle \frac{bc}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}, \frac{ca}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}, \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)

因對稱性，不妨設

\( \begin{cases} \displaystyle
\frac{bc}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} & =2\sqrt{5}\\
\frac{ca}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}} & =\frac{30}{\sqrt{13}}\\
\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} & =\frac{15}{\sqrt{10}}
\end{cases} \)

由第一式、第三式可得 \( c^{2}=\frac{20b^{2}}{b^{2}-20}, a^{2}=\frac{45b^{2}}{2b^{2}-45} \)

代入第二式得 \( \frac{20b^{2}}{b^{2}-20}\cdot\frac{45b^{2}}{2b^{2}-45}=\frac{900}{13}\left(\frac{20b^{2}}{b^{2}-20}+\frac{45b^{2}}{2b^{2}-45}\right) \)

左右同乘 \( \frac{13}{900b^2} (b^{2}-20)(2b^{2}-45) \)，化簡得

\( 13b^{2}=85b^{2}-1800 \)

故 \( b=5, c=10, a=15 \)，體積為 750

9.
某圍棋賽由實力相當的甲、乙、丙三棋手參加，規則如下：甲、乙先開始，然後敗者退出由丙遞補重新再下第二盤；接著敗者再退出，再由另一人遞補重新再賽。依此規則最後連勝2局者獲勝，試問最後甲獲勝的機率。
[解答]
想到兩個本質上相同的方法
方法一
令 P(贏)，P(輸)，與 P(補) 依序表示賽程中，剛贏一局者，剛輸一局者，與遞補者最後獲勝的機率。

則: P(補) = P(贏) /2  ;  P(輸) = P(補) /2

⇒ P(贏) = 4/7，P(補) = 2/7，P(輸) = 1/7

所求 = (1/2)*[ P(贏) + P(輸) ] = 5/14


方法二

令所求 = p，則丙最後獲勝的機率 = 1-2p。

則一局後，甲乙的負方，勝方，與丙，最後獲勝的機率依序為 (1-2p)/2 ; (1/2)+(1-2p)/4 ; 1-2p。

由三者之和 = 1，得 p = 5/14

各位老師我想要請教一下第二題
原本嘗試過加總回頭消和同除獲同除abc都不見效果
後來有人建議用兩式相減成功提出題目要求的a+b+c的因式
但之後我卻解不出答案
似乎在相減的過程中把條件給刪去了
我把相減後的結果丟給wolffram 一樣也只能求出比例關係
不知道是哪裡出了問題
以下是原式丟給wolffram 和兩兩相減丟給wolffram的連結
http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7Ba%5E2%2Bb%5E2%2Ba*b%3D9%7D,%7Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bb*c%3D16%7D,%7Bc%5E2%2Ba%5E2%2Bc*a%3D25%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7B(c-a)*t%3D7%7D,%7B(a-b)*t%3D9%7D,%7B(c-b)*t%3D16%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

2.
已知\( a,b,c \)為正實數，\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{a^2+b^2+ab=9 \cr b^2+c^2+bc=16 \cr c^2+a^2+ca=25 } \)，求\( a+b+c= \)？
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2033


11.
試求所有實數\(x\)，使得\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156