令方程式x^4+2x^3+bx^2+cx+15=0有四個有理根  且b,c皆為整數,試求有理根最大值

做法一:
因為方程式為整係數方程式,所以有理根可能為1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15  等八種
因為四根和為-2    所以取(x+1)(x-1)(x-3)(x+5)   所以最大有理根為3      .....以上這種做法是最常見到的

若把"b,c皆為整數"這個條件拿掉,上述做法是不是就不對......

所以我的做法改為如下

作法二:
假設四根有理根分別為p,q,r,s   根據根與係數可知p+q+r+s=-2   pqrs=15
因為這個聯立方城組我並不知道是不是具有理數解,甚至有解的話是不是會唯一
因此我企圖用愚公移山的方法從有理數系中尋找解(我並不是從1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15 當中去尋找),
很超級..超級.....幸運的讓我找到一組不考慮次序性的解,就是(1,-1,3,-5),
接下來我懷疑當這是唯一嗎,我的答案是肯定的,因為根據因式分解定理當中所提到的唯一性
所以上述方城組p+q+r+s=-2   pqrs=15的有理解是唯一的    因此有理根最大值是3

我的問題是
第一:原題目有設定b,c皆為整數,主要目的是不是要讓學生從1 , -1 , 3 , -3 , 5 , -5 , 15 , -15  等八種中去尋找合乎題意的,
而不是從龐大的有理係數當中去尋找
第二:如果第一個問題答案是肯定的,那也就代表"b,c皆為整數"是多餘條件,沒有這個條件依樣可以算(只是難度變大)

以上我的認知是對的嗎......謝謝各位老師........

我認為整數是一定要給的，一次因式檢驗法的前提是整係數多項式，如果有有理根就可以使用

這題表明了是整係數多項式而且告訴我四個全都是有理根，所以由一次因式檢驗法就可以得到四個根的可能

如果說這題改成有理係數，先假設b=1/2就好，那我們最簡單的方法應該是直接把f(x)乘2再來一次因式檢驗法

由上就可以推得b,c去浮動分母的時候我的根應該是會亂飄的

作法2 裡

我不知道你怎麼從因式分解定理得推得這裡的方程也會有唯一性的

但，我的直覺是沒有唯一性，應該有其它有理數的解，而且還會很多

為了方便湊，我加了限制條件 \( p+q =0 \) 且 \( r+s =-2 \)

在此條件下，可化簡為 \( p^2 = 15/r(2+r) \)

將 \( r \) 寫作 \( \frac a b \)，其中 \( a, b \in \mathbb{Z} \)

可得 \( p^2 a^2(a+2b)^2 = 15 a(a+2b) b^2 \)

取 \( a=1, b=7 \) 可湊得一組有理解 \( 7, -7, \frac 1 7, - \frac{15} 7 \)

引用:

原帖由 tsusy 於 2017-7-7 13:10 發表
作法2 裡

我不知道你怎麼從因式分解定理得推得這裡的方程也會有唯一性的

但，我的直覺是沒有唯一性，應該有其它有理數的解，而且還會很多

為了方便湊，我加了限制條件 \( p+q =0 \) 且 \( r+s =-2 \)

在此條件下，可化簡為 ...

謝謝老師.......我知道我錯在哪裡    我誤用"唯一性"
當b,c沒有固定,怎麼可能分解會唯一呢.....是這樣的吧.....
所以此題若沒有"b,c是整數"的條件限制,會得到一堆有理解
當這個限制加上去,這一大堆有理解瞬間只剩下一組
是這樣的吧.......再次謝謝....