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松山高中104第二學期自然組第二次段考題

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松山高中104第二學期自然組第二次段考題

I.
設空間中有一直線\(L\):\(\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}\)與兩點\(P(5,4,2)\)、\(Q(a,b,c)\),\(b>0\),若\(P\)在\(L\)上的投影點與\(Q\)在\(L\)上的投影點皆為點\(R\),且\(\overline{PR}=\overline{QR}\)、∠\(PRQ=120^{\circ}\),求\(Q\)點坐標\((a,b,c)=\)?
試問解法?感謝各位大大

http://203.72.64.251/fileup2008/104/1040202/1040202.asp

附件

104松山高中自然組第二次段考.pdf (378.79 KB)

2020-3-28 02:21, 下載次數: 875

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回復 1# chwjh32 的帖子

易知\(R\left( 4,2,4 \right),\overline{PR}=\overline{QR}=3,\overline{PQ}=3\sqrt{3}\)

向量\(RQ=\left( a-4,b-2,c-4 \right)\)

解以下聯立方程,可得答案
\(\left\{ \begin{align}
  & 2\left( a-4 \right)+\left( b-2 \right)+2\left( c-4 \right)=0 \\
& {{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-4 \right)}^{2}}={{3}^{2}} \\
& {{\left( a-5 \right)}^{2}}+{{\left( b-4 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}={{\left( 3\sqrt{3} \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-5-6 21:05 編輯 ]

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請問一下沒有比較簡潔的算法嗎?

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回復 3# chwjh32 的帖子

第 (1) 式為 2a + b + 2c = 18
第 (2) 式 - 第 (3) 式,可得 2a + 4b - 4c = -9
用上兩式把 a 和 c 用 b 表示,代入第 (2) 式可求出 b

還要更快的話,就要等高手囉!

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