感謝四位朋友幫忙回想，只差第一題，有三個太醜的數據沒人記得
想問 5 , 6 , 9 , 10

第9題
\(\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{7}{2}\)

令\(b+c=x,a+c=y,a+b=z\)
\(a=\frac{-x+y+z}{2},b=\frac{x-y+z}{2},c=\frac{x+y-z}{2}\)

原不等式左邊改寫為
\(\begin{align}
  & \frac{-2x+2y+2z}{x}+\frac{2x-2y+2z}{y}+\frac{x+y-z}{2z} \\
& =-2-2-\frac{1}{2}+\left( \frac{2y}{x}+\frac{2x}{y} \right)+\left( \frac{2z}{x}+\frac{x}{2z} \right)+\left( \frac{2z}{y}+\frac{y}{2z} \right) \\
& \ge -\frac{9}{2}+4+2+2 \\
& =\frac{7}{2} \\
\end{align}\)

第10題
\({{h}^{2}}+4hk+8{{k}^{2}}=4\)

令\({{h}^{2}}+{{k}^{2}}=m\)

\(\begin{align}
  & m\left( {{h}^{2}}+4hk+8{{k}^{2}} \right)=4\left( {{h}^{2}}+{{k}^{2}} \right) \\
& \left( m-4 \right){{h}^{2}}+\left( 4mk \right)h+\left( 8m-4 \right){{k}^{2}}=0 \\
& {{\left( 4mk \right)}^{2}}-4\left( m-4 \right)\left( 8m-4 \right){{k}^{2}}\ge 0 \\
& {{m}^{2}}-\left( m-4 \right)\left( 2m-1 \right)\ge 0 \\
& {{m}^{2}}-9m+4\le 0 \\
& \frac{9-\sqrt{65}}{2}\le m\le \frac{9+\sqrt{65}}{2} \\
\end{align}\)

式子是a,b 的對稱式故在此徵求證明'='成立時a必等於b則
左式>=8b/(b+c)+(b+c)/2b-1/2>=2根號(8*1/2)-1/2=7/2,'='成立於 c=3a=3b時
所以本題若改成填充題求min,就記得先看誰跟誰是對稱式,那麼誰就要先等於誰,其餘再說

第 6 題
(1) 轉移矩陣的問題，就不做了

(2) 第一晚和第六晚都在 A，則第二晚和第五晚有以下 9 種情形，分三種類型討論

(i) 同一點：(二，五) = (A，A)、(B，B)、(E，E)
上面的每一種，(三，四) 有 3^2 - 2 = 7 種情形
以 (二，五) = (A，A) 為例，扣掉的 2 種是 (三，四) = (B，E)、(E，B)

(ii) 相鄰：(二，五) = (A，B)、(A，E)、(B，A)、(E，A)
上面的每一種，(三，四) 有 3^2 - 3 = 6 種情形
以 (二，五) = (A，B) 為例，扣掉的 3 種是 (三，四) = (A，C)、(E，B)、(E，C)

(iii) 不相鄰：(二，五) = (B，E)、(E，B)
上面的每一種，(三，四) 有 4 種情形
以 (二，五) = (B，E) 為例，4 種是 (三，四) = (A，A)、(A，E)、(B，A)、(C，D)

所求 = 7 * 3 + 6 * 4 + 4 * 2 = 53 種

第六題
提供其他想法
轉移矩陣先算機率53/243
反推回排列組合答案53
而且有規則，費氏數列
第一次:1
第二次:1+1+1=3...(0)
第三次:3+2+2=7...(1)
第四次:7+6+6=19...(1)
第五次:19+17+17=53...(2)
第六次:53+50+50=153...(3)
......

轉移矩陣的機率換成1和0，就可以算次數了

回#5的(2)
設定方程組形成的增廣矩陣, 各行分別為A,B,C,D.
則Δ=0, 代表|A B C|=0 ; Δ_{x}=0, 代表|DBC|=0.
由矩陣運算性質可以知道, 若|A B C|=0, 代表A=mB+nC.
所以Δ_{y}=|A D C|=|mB D C|+|nC D C|=0;  同理, Δ_{z}=|A B D|=|mB B D|+|nC B D|=0.

表格法，用來算排列數，或機率都很快

#類似題目可見數學101第90回的第6題

10.
\(\Gamma\)：\(x^2+4xy+8y^2-4=0\)，若\((h,k)\)為\(\Gamma\)上一點，求\(h^2+k^2\)的最小值。
[解答]
\(x^2+4xy+8y^2-4=0\)
\((x+2y)^2+(2y)^2=4\)
故令\(\cases{x+2y=2cos \theta \cr 2y=2sin \theta}\Rightarrow \cases{x=2sin \theta-2 cos \theta \cr y=sin \theta}\)
所求即
\(\displaystyle x^2+y^2=5sin^2 \theta+4cos^2 \theta-8sin\theta cos \theta=cos^2 \theta-8sin \theta cos \theta+4=\frac{1}{2}cos 2\theta-4 sin 2 \theta+\frac{9}{2}\)
又由疊合知\(\displaystyle \frac{9-\sqrt{65}}{2}\le x^2+y^2 \le \frac{9+\sqrt{65}}{2}\)