1.
下圖為某班的教室座位配置圖，現將甲、乙、丙等30位同學隨機安排入坐，每格恰坐1位，則甲、乙、丙三人彼此皆不相鄰的機率為　　　。 (前後相鄰或左右相鄰都算相鄰)
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
[解答]
想法: 人數少，用取捨原理相對簡明。(又，不需排列也不需考慮其它人)

解:

三人入坐法 = C(30,3) = 4060

相鄰的方法數 = 28*(5*5 + 6*4) - (4*5 + 6*3) - 4*(5*4) = 1254

相鄰的機率 = 627/2030

不相鄰的機率 = 1403/2030

請教計算證明3,4題,謝謝

小弟不才，能否煩勞cefepime 大大 能再說明一下算式的過程呢？

回復 13# eyeready 的帖子

相鄰的方法數: 先選 2 個相鄰的座位 (同列: 5*5，同行: 6*4)，再選第 3 個座位 (30 - 2 = 28) ⇒ 28*(5*5 + 6*4)

但以上會把: 3 人同列緊鄰 (4*5)，3 人同行緊鄰 (6*3)，3 人呈"虧格狀"緊鄰 [ 先考慮虧格所在的 2x2 方形 ⇒ 4*(5*4) ] 的情形皆多算 1 次，故予相減。

原來如此，感謝cefepime 大大的解說！您的想法讓小弟讚嘆不已！
PS:5/4會備份主機大家要留意ㄧ下板上資訊

4.
四邊形\(ABCD\)中，\(\overline{BC}=\overline{CD}\)，\(\angle ABC=114^{\circ}\)，\(\angle BCD=144^{\circ}\)，\(\angle BAC=30^{\circ}\)，則\(\angle ADC=\)　　　
[解答]
\(
\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \frac{x}{{\sin 30^{\rm{^\circ }} }}=\frac{{\overline {AC} }}{{\sin 114^{\rm{^\circ }} }} \\
\displaystyle \frac{x}{{\sin (72^{\rm{^\circ }} - \theta )}}=\frac{{\overline {AC} }}{{\sin \theta }} \\
\end{array} \right. \\
\displaystyle  2\sin (72^{\rm{^\circ }} - \theta )\sin 114^{\rm{^\circ }} = \sin \theta  \\
  \displaystyle 2\sin (72^{\rm{^\circ }} - \theta )\cos 24^{\rm{^\circ }} = \sin \theta  \\
\theta  = 48^{\rm{^\circ }}  \\
\end{array}
\)



第九題
9.
求不等式\(-3<\left[|\;x-1|\;-6\right]<3\)的解為　　　。(\(\left[x\right]\)表不大於\(x\)之最大整數)
[解答]
\(高斯函數
[x] \le x{\rm{ < [}}x{\rm{] + 1}}
\)
\(
\begin{array}{l}
{\rm{[| }}x - 1{\rm{ |}} - 6{\rm{] = }} - 2, - 1,0,1,2 \\
  - 2 \le {\rm{| }}x-1{\rm{ |}} - 6{\rm{ < 3}} \\
  5 \le x<10, -8<x \le -3 \\
\end{array}
\)

計算3 沒圖形就不理它了
計算 4
(1)應該是
\(36^4-10^4-26^4
\)

請問可以詢問填充8,10的d,13
以及計算題第一題嗎

感謝各位老師！

計算第1題
設六個正數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)，滿足\(a+b+c=x+y+z\)，求證：\(\displaystyle \frac{2a^2}{a+x}+\frac{2b^2}{b+y}+\frac{2c^2}{c+z}\ge a+b+c\)。
[解答]
請參考附件

第 13 題
13.
設\(\displaystyle f(x)=\frac{4^x}{4^x+2}\)，試求\(\displaystyle f(\frac{1}{2017})+f(\frac{2}{2017})+f(\frac{3}{2017})+\ldots+f(\frac{2016}{2017})=\)　　　。
[提示]
老梗題
f(a) + f(1 - a) = 1

第8題
已知一雙曲線上任一點\(P(x,y)\)滿足到直線\(4x+y=2\)及\(4x-y=0\)的距離乘積為定值2，則該雙曲線的焦點到中心的距離為　　　。
[解答]
雙曲線\(\frac{{{\left( x-h \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{\left( y-k \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\)上任一點到兩漸近線\(b\left( x-h \right)+a\left( y-k \right)=0,b\left( x-h \right)-a\left( y-k \right)=0\)之距離乘積為定值\(\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\begin{align}
  & \left\{ \begin{align}
  & b=4a \\
& \frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=2 \\
\end{align} \right. \\
& c=\frac{17}{4}\sqrt{2} \\
\end{align}\)